Dois objetos pontuais, cada um de massa
, estão conectados por uma corda sem massa de comprimento
. Os objetos são suspensos verticalmente próximos à superfície da Terra de maneira que um objeto está pendurado embaixo do outro. Então os objetos são liberados. Mostre que a tensão na corda é
Onde
é a massa da Terra e
é o seu raio.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está pedindo o exercício. Temos dois objetos pontuais, cada um com massa $ m $, ligados por uma corda sem massa de comprimento $ l $. Eles estão pendurados verticalmente perto da Terra, um embaixo do outro. Quando soltam os objetos, queremos descobrir qual é a tensão na corda, usando a fórmula:
Aqui, $ G $ é a constante da gravitação universal, $ M $ é a massa da Terra, e $ R $ é o raio da Terra. Para resolver isso, vamos precisar entender as leis da gravitação de Newton e como elas se aplicam no contexto de forças em sistemas em equilíbrio.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças atuando em cada objeto. Como os objetos estão suspensos na Terra, a força gravitacional ($ F_g
T $) na corda puxa para cima. Para o objeto de cima, a tensão na corda é responsável por equilibrar a força gravitacional do objeto de cima e do objeto de baixo. Já para o objeto de baixo, a única força que puxa para cima é a tensão da corda.
Passo 3
Vamos calcular a força gravitacional em cada objeto. A força gravitacional é dada por:
Onde:
- $ G $ é a constante gravitacional ($ 6,674 \times 10^{-11} , N\cdotm2/\text{kg}2 $),
- $ M $ é a massa da Terra,
- $ m $ é a massa de cada objeto,
- $ R $ é o raio da Terra.
Essa equação nos diz quanta força a Terra exerce sobre cada objeto.
Passo 4
Agora, vamos analisar a tensão na corda. O objeto de cima está suportando o peso do objeto de baixo. Então, a tensão na corda não é apenas igual ao peso de um objeto, mas sim a soma das forças gravitacionais de ambos os objetos.
Mas como $ l $ é muito menor que $ R $ (já que $ l $ é o comprimento da corda e $ R $ é o raio da Terra), podemos aproximar $ R + l \approx R $, simplificando a expressão para:
Passo 5
Percebi que a formulação inicial do problema assume uma aproximação adicional para chegar na expressão $ T = \frac{G M m l}{R^{3}} $. Vamos considerar a diferença de potencial gravitacional entre os dois pontos onde os objetos estão localizados.
A variação da força gravitacional com a altura $ l $ pode ser aproximada pela expansão em série de Taylor:
Substituindo isso na expressão da tensão:
Essa aproximação leva em conta a pequena variação devido ao comprimento $ l $ da corda em relação ao raio da Terra $ R $.
Resposta
A tensão na corda é dada por