Dois objetos pontuais, cada um de massa m, estão conectados por uma corda sem massa de comprimento l. Os objetos são suspensos verticalmente próximos à superfície da Terra de maneira que um objeto está pendurado embaixo do outro. Então os objetos são liberados. Mostre que a tensão na corda é
T=G M m lR^3
Onde M é a massa da Terra e R é o seu raio.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está pedindo o exercício. Temos dois objetos pontuais, cada um com massa $ m $, ligados por uma corda sem massa de comprimento $ l $. Eles estão pendurados verticalmente perto da Terra, um embaixo do outro. Quando soltam os objetos, queremos descobrir qual é a tensão na corda, usando a fórmula:
m
Aqui, $ G $ é a constante da gravitação universal, $ M $ é a massa da Terra, e $ R $ é o raio da Terra. Para resolver isso, vamos precisar entender as leis da gravitação de Newton e como elas se aplicam no contexto de forças em sistemas em equilíbrio.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças atuando em cada objeto. Como os objetos estão suspensos na Terra, a força gravitacional ($ F_g Fg ã T $) na corda puxa para cima. Para o objeto de cima, a tensão na corda é responsável por equilibrar a força gravitacional do objeto de cima e do objeto de baixo. Já para o objeto de baixo, a única força que puxa para cima é a tensão da corda.

Passo 3

Vamos calcular a força gravitacional em cada objeto. A força gravitacional é dada por:
Fg = G M mR^2
Onde:
  • $ G $ é a constante gravitacional ($ 6,674 \times 10^{-11} , N\cdotm2/\text{kg}2 $),
  • $ M $ é a massa da Terra,
  • $ m $ é a massa de cada objeto,
  • $ R $ é o raio da Terra.
Essa equação nos diz quanta força a Terra exerce sobre cada objeto.

Passo 4

Agora, vamos analisar a tensão na corda. O objeto de cima está suportando o peso do objeto de baixo. Então, a tensão na corda não é apenas igual ao peso de um objeto, mas sim a soma das forças gravitacionais de ambos os objetos.
T = Fg,1 + Fg,2 = G M mR^2 + G M m(R + l)^2
Mas como $ l $ é muito menor que $ R $ (já que $ l $ é o comprimento da corda e $ R $ é o raio da Terra), podemos aproximar $ R + l \approx R $, simplificando a expressão para:
l

Passo 5

Percebi que a formulação inicial do problema assume uma aproximação adicional para chegar na expressão $ T = \frac{G M m l}{R^{3}} $. Vamos considerar a diferença de potencial gravitacional entre os dois pontos onde os objetos estão localizados.
A variação da força gravitacional com a altura $ l $ pode ser aproximada pela expansão em série de Taylor:
T = G M m lR^3
Substituindo isso na expressão da tensão:
l
Essa aproximação leva em conta a pequena variação devido ao comprimento $ l $ da corda em relação ao raio da Terra $ R $.

Resposta

A tensão na corda é dada por
T = G M m lR^3

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