Um satélite em órbita, a uma altitude igual a dois raios da Terra, lança uma caixa de equipamentos de massa
em direção ao centro da Terra com uma velocidade de
. Com que velocidade
a caixa entra na atmosfera da Terra (a uma distância
km acima da superfície)?
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem um satélite que está a uma altitude igual a dois raios da Terra. Ele lança uma caixa com massa $ m $ em direção ao centro da Terra com uma velocidade inicial de $ v_i = 525 , m/s $. A pergunta é: qual será a velocidade final $ v_f $ da caixa quando ela entrar na atmosfera da Terra, que fica a uma distância de $ h = 100 , km $ acima da superfície?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação da energia mecânica na física, que envolve energia cinética e energia potencial gravitacional. Vamos precisar das fórmulas dessas energias e de alguns valores constantes da Terra, como o seu raio e massa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as energias envolvidas. A energia mecânica total de um objeto em um campo gravitacional é a soma da energia cinética (devida ao movimento) e da energia potencial gravitacional (devida à posição no campo gravitacional).
A fórmula da energia cinética ($ KE $) é:
onde:
- $ m $ é a massa da caixa,
- $ v $ é a velocidade.
A energia potencial gravitacional ($ U $) é:
onde:
- $ G $ é a constante gravitacional ($ 6,67430 \times 10^{-11} , m^3 kg^{-1} s^{-2} $),
- $ M $ é a massa da Terra ($ 5,972 \times 10^{24} , kg $),
- $ r $ é a distância do centro da Terra.
Passo 3
Como a energia mecânica é conservada (não tem perdas de energia no processo), podemos igualar a energia total inicial à energia total final:
Substituindo as fórmulas das energias:
Perceba que a massa $ m $ aparece em todos os termos e pode ser cancelada:
Passo 4
Agora, vamos isolar $ v_f $, que é a velocidade final que queremos encontrar. Primeiro, rearranjamos a equação:
Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar $ v_f $:
Passo 5
Vamos agora substituir os valores numéricos nos termos:
- Constante gravitacional, $ G = 6,67430 \times 10^{-11} , m^3 kg^{-1} s^{-2} $
- Massa da Terra, $ M = 5,972 \times 10^{24} , kg $
- Raio da Terra, $ R = 6,371 \times 10^{6} , m $
- Altitude inicial, $ r_i = 2 R = 2 \times 6,371 \times 10^{6} , m = 1,2742 \times 10^{7} , m $
- Distância final, $ r_f = R + h = 6,371 \times 10^{6} , m + 100 \times 10^{3} , m = 6,471 \times 10^{6} , m $
- Velocidade inicial, $ v_i = 525 , m/s $
Agora, substituindo na equação:
Vamos calcular cada termo:
-
$ 525^2 = 275,625 , m2/\text{s}2 $
-
$ \frac{2 G M}{r_i} = \frac{2 \times 6,67430 \times 10^{-11} \times 5,972 \times 10^{24}}{1,2742 \times 10^{7}} \approx \frac{7,986 \times 10^{14}}{1,2742 \times 10^{7}} \approx 6,264 \times 10^{7} , m2/\text{s}2 $
-
$ \frac{2 G M}{r_f} = \frac{2 \times 6,67430 \times 10^{-11} \times 5,972 \times 10^{24}}{6,471 \times 10^{6}} \approx \frac{7,986 \times 10^{14}}{6,471 \times 10^{6}} \approx 1,232 \times 10^{8} , m2/\text{s}2 $
Substituindo de volta na equação:
Calculando dentro da raiz:
Resposta
A velocidade final da caixa ao entrar na atmosfera da Terra é aproximadamente $ 77.821 , m/s $.