Um satélite em órbita, a uma altitude igual a dois raios da Terra, lança uma caixa de equipamentos de massa m em direção ao centro da Terra com uma velocidade de vi=525 m / s. Com que velocidade vf a caixa entra na atmosfera da Terra (a uma distância h=100 km acima da superfície)?

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem um satélite que está a uma altitude igual a dois raios da Terra. Ele lança uma caixa com massa $ m $ em direção ao centro da Terra com uma velocidade inicial de $ v_i = 525 , m/s $. A pergunta é: qual será a velocidade final $ v_f $ da caixa quando ela entrar na atmosfera da Terra, que fica a uma distância de $ h = 100 , km $ acima da superfície?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação da energia mecânica na física, que envolve energia cinética e energia potencial gravitacional. Vamos precisar das fórmulas dessas energias e de alguns valores constantes da Terra, como o seu raio e massa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as energias envolvidas. A energia mecânica total de um objeto em um campo gravitacional é a soma da energia cinética (devida ao movimento) e da energia potencial gravitacional (devida à posição no campo gravitacional).
A fórmula da energia cinética ($ KE $) é:
KE
onde:
  • $ m $ é a massa da caixa,
  • $ v $ é a velocidade.
A energia potencial gravitacional ($ U $) é:
KE = 12 m v^2
onde:
  • $ G $ é a constante gravitacional ($ 6,67430 \times 10^{-11} , m^3 kg^{-1} s^{-2} $),
  • $ M $ é a massa da Terra ($ 5,972 \times 10^{24} , kg $),
  • $ r $ é a distância do centro da Terra.

Passo 3

Como a energia mecânica é conservada (não tem perdas de energia no processo), podemos igualar a energia total inicial à energia total final:
KEi + Ui = KEf + Uf
Substituindo as fórmulas das energias:
12 m vi^2 - G M mri = 12 m vf^2 - G M mrf
Perceba que a massa $ m $ aparece em todos os termos e pode ser cancelada:
m

Passo 4

Agora, vamos isolar $ v_f $, que é a velocidade final que queremos encontrar. Primeiro, rearranjamos a equação:
vf
Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
12 vf^2 = 12 vi^2 - G Mri + G Mrf
Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar $ v_f $:
vf^2 = vi^2 - 2 G Mri + 2 G Mrf

Passo 5

Vamos agora substituir os valores numéricos nos termos:
  • Constante gravitacional, $ G = 6,67430 \times 10^{-11} , m^3 kg^{-1} s^{-2} $
  • Massa da Terra, $ M = 5,972 \times 10^{24} , kg $
  • Raio da Terra, $ R = 6,371 \times 10^{6} , m $
  • Altitude inicial, $ r_i = 2 R = 2 \times 6,371 \times 10^{6} , m = 1,2742 \times 10^{7} , m $
  • Distância final, $ r_f = R + h = 6,371 \times 10^{6} , m + 100 \times 10^{3} , m = 6,471 \times 10^{6} , m $
  • Velocidade inicial, $ v_i = 525 , m/s $
Agora, substituindo na equação:
G = 6,67430 times 10^-11 , m^3 kg^-1 s^-2
Vamos calcular cada termo:
  1. $ 525^2 = 275,625 , m2/\text{s}2 $
  2. $ \frac{2 G M}{r_i} = \frac{2 \times 6,67430 \times 10^{-11} \times 5,972 \times 10^{24}}{1,2742 \times 10^{7}} \approx \frac{7,986 \times 10^{14}}{1,2742 \times 10^{7}} \approx 6,264 \times 10^{7} , m2/\text{s}2 $
  3. $ \frac{2 G M}{r_f} = \frac{2 \times 6,67430 \times 10^{-11} \times 5,972 \times 10^{24}}{6,471 \times 10^{6}} \approx \frac{7,986 \times 10^{14}}{6,471 \times 10^{6}} \approx 1,232 \times 10^{8} , m2/\text{s}2 $
Substituindo de volta na equação:
M = 5,972 times 10^24 , kg
Calculando dentro da raiz:
R = 6,371 times 10^6 , m

Resposta

A velocidade final da caixa ao entrar na atmosfera da Terra é aproximadamente $ 77.821 , m/s $.

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