Dois objetos realizam M.C.U. em círculos concêntricos com a origem dos eixos ordenados. No instante t=0 s, o objeto 1 encontrava-se em (x1 ; y1)=(1,299 ; 0,750) m e o objeto 2 , em (x2 ; y2)=(2,427 ;-1,763) m. Sabendo que o objeto 1 realiza 11,46 R.P.M. e o objeto 2 realiza 7,64 R.P.M., explite a distância relativa entre eles, ao longo do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois objetos que estão se movendo em círculos com o mesmo centro (concentricos) no plano. No instante inicial (t=0 segundos), sabemos as posições de cada objeto. Além disso, conhecemos a velocidade angular de cada um em rotações por minuto (RPM). Nosso objetivo aqui é descobrir como a distância entre esses dois objetos muda conforme o tempo passa.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Movimento Circular Uniforme (M.C.U.), que lida com objetos que se movem em círculos com velocidade constante. Vamos também usar um pouco de trigonometria para calcular as posições dos objetos ao longo do tempo e, finalmente, a distância entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as rotações por minuto (RPM) em radianos por segundo, já que é uma unidade mais útil para cálculos de movimentos circulares.
A fórmula para converter RPM para rad/s é:
omega = 2pi times RPM60
onde:
  • omega é a velocidade angular em rad/s
  • pi é aproximadamente 3,1416
Vamos calcular para cada objeto:
Objeto 1:
omega1 = 2pi times 11,4660 approx 72,04460 approx 1,2007 , rad/s
Objeto 2:
omega2 = 2pi times 7,6460 approx 47,96360 approx 0,7994 , rad/s

Passo 3

Agora, precisamos determinar a posição de cada objeto em qualquer instante de tempo $ t $. Para isso, usamos as equações paramétricas do movimento circular:
Para um objeto em M.C.U., as coordenadas $ (x, y) $ em função do tempo são dadas por:
t
(x, y)
onde:
  • $ R $ é o raio da trajetória
  • $ \theta(t) $ é o ângulo que o objeto faz com o eixo x no tempo $ t $, e é dado por $ \theta(t) = \omega t + \theta_0 $
  • $ \theta_0 $ é o ângulo inicial no tempo $ t=0 $
Vamos achar $ R $ e $ \theta_0 $ para cada objeto a partir das posições iniciais dadas.
Objeto 1:
Posição inicial: $ (x_1, y_1) = (1,299 , m, 0,750 , m) $
O raio $ R_1 $ é:
x(t) = R cos(theta(t))
O ângulo inicial $ \theta_{1,0} $ é:
y(t) = R sin(theta(t))
Então, as equações de movimento para o objeto 1 são:
R
theta(t)
Objeto 2:
Posição inicial: $ (x_2, y_2) = (2,427 , m, -1,763 , m) $
O raio $ R_2 $ é:
t
O ângulo inicial $ \theta_{2,0} $ é:
theta(t) = omega t + theta0
Então, as equações de movimento para o objeto 2 são:
theta0
t=0

Passo 4

Agora que temos as posições dos dois objetos em função do tempo, vamos determinar a distância entre eles a qualquer instante $ t $.
A distância $ D(t) $ entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é dada por:
t
Vamos substituir as equações de $ x $ e $ y $ que encontramos:
D(t)

Passo 5

A equação acima nos dá a distância entre os dois objetos para qualquer valor de $ t $. Para explorar como essa distância varia ao longo do tempo, podemos analisar $ D(t) $ graficamente ou calcular valores específicos para diferentes instantes de $ t $.
Por exemplo, se quisermos saber a distância após $ t = 1 $ segundo:
  1. Calculamos $ x_1(1) $ e $ y_1(1) $ usando as equações do objeto 1.
  2. Calculamos $ x_2(1) $ e $ y_2(1) $ usando as equações do objeto 2.
  3. Substituímos esses valores na fórmula de $ D(t) $ para encontrar a distância.
Esse procedimento pode ser repetido para diferentes valores de $ t $ para ver como a distância entre os objetos muda com o tempo.

Resposta

A distância relativa entre os dois objetos ao longo do tempo $ D(t) $ é dada por:
D(t)
Essa fórmula permite calcular a distância entre os objetos para qualquer instante de tempo $ t $.

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