Uma partícula movimenta-se no plano
com velocidade constante, de modo que no instante de tempo
encontra-se em
; em
encontra-se em
; e em
encontra-se em
. Explicite as equações de movimento da partícula.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que tá se movendo no plano XY com velocidade constante. Foi dado onde ela está em três momentos diferentes: aos 1, 3 e 5 segundos. Nosso objetivo é encontrar as equações de movimento dessa partícula, ou seja, descobrir como as coordenadas $ x $ e $ y $ mudam em função do tempo $ t $. Para isso, vamos precisar usar um pouco de matemática relacionada ao movimento retilíneo uniforme no plano.
Passo 2
Primeiro, como a velocidade é constante, isso significa que as componentes da velocidade em $ x $ e $ y $ são constantes. Vamos chamar essas componentes de $ v_x $ e $ v_y $. As equações de movimento vão ter a forma:
Aqui, $ x_0 $ e $ y_0 $ são as posições iniciais da partícula no tempo $ t = 0 $.
Passo 3
Agora, vamos usar as informações dadas para encontrar $ v_x $ e $ v_y $. Sabemos as posições nos tempos $ t = 1 , s $, $ t = 3 , s $ e $ t = 5 , s $:
- Em $ t = 1 , s $: $ (x, y) = (1,960 , m, 0,397 , m) $
- Em $ t = 3 , s $: $ (x, y) = (1,651 , m, 1,129 , m) $
- Em $ t = 5 , s $: $ (x, y) = (1,081 , m, 1,683 , m) $
Vamos usar duas dessas situações para montar um sistema de equações e resolver para $ v_x $ e $ v_y $.
Passo 4
Vamos usar os tempos $ t = 1 , s $ e $ t = 3 , s $ para as equações de $ x(t) $ e $ y(t) $:
Para $ x(t) $:
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
Passo 5
Agora, vamos encontrar $ x_0 $ usando a equação (1):
Então, a equação para $ x(t) $ fica:
Passo 6
Vamos repetir o mesmo processo para a coordenada $ y(t) $. Usando os tempos $ t = 1 , s $ e $ t = 3 , s $:
Subtraindo a equação (3) da equação (4):
Passo 7
Agora, encontramos $ y_0 $ usando a equação (3):
Então, a equação para $ y(t) $ fica:
Resposta
As equações de movimento da partícula são: