Uma partícula movimenta-se no plano XY com velocidade constante, de modo que no instante de tempo t=1 s encontra-se em (x ; y)=(1,960 ; 0,397) m; em t=3 s encontra-se em (x ; y)=(1,651 ; 1,129) m; e em t=5 s encontra-se em (x ; y)=(1,081 ; 1,683) m. Explicite as equações de movimento da partícula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que tá se movendo no plano XY com velocidade constante. Foi dado onde ela está em três momentos diferentes: aos 1, 3 e 5 segundos. Nosso objetivo é encontrar as equações de movimento dessa partícula, ou seja, descobrir como as coordenadas $ x $ e $ y $ mudam em função do tempo $ t $. Para isso, vamos precisar usar um pouco de matemática relacionada ao movimento retilíneo uniforme no plano.

Passo 2

Primeiro, como a velocidade é constante, isso significa que as componentes da velocidade em $ x $ e $ y $ são constantes. Vamos chamar essas componentes de $ v_x $ e $ v_y $. As equações de movimento vão ter a forma:
x
y
Aqui, $ x_0 $ e $ y_0 $ são as posições iniciais da partícula no tempo $ t = 0 $.

Passo 3

Agora, vamos usar as informações dadas para encontrar $ v_x $ e $ v_y $. Sabemos as posições nos tempos $ t = 1 , s $, $ t = 3 , s $ e $ t = 5 , s $:
  • Em $ t = 1 , s $: $ (x, y) = (1,960 , m, 0,397 , m) $
  • Em $ t = 3 , s $: $ (x, y) = (1,651 , m, 1,129 , m) $
  • Em $ t = 5 , s $: $ (x, y) = (1,081 , m, 1,683 , m) $
Vamos usar duas dessas situações para montar um sistema de equações e resolver para $ v_x $ e $ v_y $.

Passo 4

Vamos usar os tempos $ t = 1 , s $ e $ t = 3 , s $ para as equações de $ x(t) $ e $ y(t) $:
Para $ x(t) $:
t = 1 , s
t = 3 , s
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
x(t)
y(t)

Passo 5

Agora, vamos encontrar $ x_0 $ usando a equação (1):
x0
1,960 = x0 + (-0,1545) cdot 1
Então, a equação para $ x(t) $ fica:
x0 = 1,960 + 0,1545 = 2,1145 , m

Passo 6

Vamos repetir o mesmo processo para a coordenada $ y(t) $. Usando os tempos $ t = 1 , s $ e $ t = 3 , s $:
y(t)
t = 1 , s
Subtraindo a equação (3) da equação (4):
t = 3 , s
0,397 = y0 + vy cdot 1 (3)

Passo 7

Agora, encontramos $ y_0 $ usando a equação (3):
y0
0,397 = y0 + 0,366 cdot 1
Então, a equação para $ y(t) $ fica:
y0 = 0,397 - 0,366 = 0,031 , m

Resposta

As equações de movimento da partícula são:
x(t) = 2,1145 - 0,1545 cdot t (em metros)
y(t) = 0,031 + 0,366 cdot t (em metros)

Exercícios relacionados