Dois objetos realizam M.C.U. em círculos concêntricos com a origem dos eixos ordenados. No instante t=0 s, o objeto 1 encontrava-se em (x1 ; y1)=(1,299 ; 0,750) m e o objeto 2 , em (x2 ; y2)=(2,427 ;-1,763) m. Sabendo que o objeto 1 realiza 11,46 R.P.M. e o objeto 2 realiza 7,64 R.P.M., explite as equações de movimento de ambos os objetos;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois objetos que estão fazendo Movimento Circular Uniforme (M.C.U.) em círculos que têm o mesmo centro. No início, ou seja, no tempo $ t = 0 $ segundos, o objeto 1 estava na posição $ (1,299; 0,750) $ metros e o objeto 2 estava em $ (2,427; -1,763) $ metros. Os objetos giram com velocidades de 11,46 e 7,64 R.P.M. (Rotações Por Minuto) respectivamente. Nosso objetivo aqui é usar as equações do M.C.U. para descrever o movimento de cada objeto.

Passo 2

Primeiro, precisamos transformar as rotações por minuto (R.P.M.) em velocidade angular, que geralmente é medida em radianos por segundo ($ \omega $). Isso porque as equações do M.C.U. usam $ \omega $ para descrever como o ângulo muda com o tempo.
A fórmula para converter R.P.M. para rad/s é:
omega
Vamos calcular isso para os dois objetos:
Para o objeto 1:
omega
Para o objeto 2:
omega = RPM times 2pi60

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as equações que descrevem a posição de cada objeto em qualquer tempo $ t $. Como estão fazendo M.C.U., podemos usar as equações paramétricas do círculo:
t
x(t) = A cos(omega t + phi)
Onde:
  • $ A $ é o raio do círculo,
  • $ \omega $ é a velocidade angular,
  • $ \phi $ é a fase inicial, que depende da posição inicial.
Primeiro, vamos identificar o raio e a fase inicial para cada objeto a partir das posições iniciais dadas.
Para o objeto 1, a posição inicial é $ (1,299; 0,750) $. O raio $ A_1 $ é:
y(t) = A sin(omega t + phi)
E a fase inicial $ \phi_1 $ é o ângulo cujo cosseno é $ \frac{1,299}{1,45} $ e o seno é $ \frac{0,750}{1,45} $, então:
A
Para o objeto 2, a posição inicial é $ (2,427; -1,763) $. O raio $ A_2 $ é:
omega
E a fase inicial $ \phi_2 $ é:
phi

Passo 4

Com todos os valores calculados, podemos agora montar as equações de movimento para cada objeto.
Para o objeto 1:
x1(t) = 1,45 cos(1,199t + 0,523)
y1(t) = 1,45 sin(1,199t + 0,523)
Para o objeto 2:
x2(t) = 2,99 cos(0,800t - 0,588)
y2(t) = 2,99 sin(0,800t - 0,588)

Resposta

As equações de movimento dos objetos são:
Objeto 1:
x1(t) = 1,45 cos(1,199t + 0,523)
y1(t) = 1,45 sin(1,199t + 0,523)
Objeto 2:
x2(t) = 2,99 cos(0,800t - 0,588)
y2(t) = 2,99 sin(0,800t - 0,588)

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