Dois objetos realizam M.C.U. em círculos concêntricos com a origem dos eixos ordenados. No instante
, o objeto 1 encontrava-se em
e o objeto 2 , em
. Sabendo que o objeto 1 realiza 11,46 R.P.M. e o objeto 2 realiza 7,64 R.P.M., explite as equações de movimento de ambos os objetos;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois objetos que estão fazendo Movimento Circular Uniforme (M.C.U.) em círculos que têm o mesmo centro. No início, ou seja, no tempo $ t = 0 $ segundos, o objeto 1 estava na posição $ (1,299; 0,750) $ metros e o objeto 2 estava em $ (2,427; -1,763) $ metros. Os objetos giram com velocidades de 11,46 e 7,64 R.P.M. (Rotações Por Minuto) respectivamente. Nosso objetivo aqui é usar as equações do M.C.U. para descrever o movimento de cada objeto.
Passo 2
Primeiro, precisamos transformar as rotações por minuto (R.P.M.) em velocidade angular, que geralmente é medida em radianos por segundo ($ \omega $). Isso porque as equações do M.C.U. usam $ \omega $ para descrever como o ângulo muda com o tempo.
A fórmula para converter R.P.M. para rad/s é:
Vamos calcular isso para os dois objetos:
Para o objeto 1:
Para o objeto 2:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as equações que descrevem a posição de cada objeto em qualquer tempo $ t $. Como estão fazendo M.C.U., podemos usar as equações paramétricas do círculo:
Onde:
- $ A $ é o raio do círculo,
- $ \omega $ é a velocidade angular,
- $ \phi $ é a fase inicial, que depende da posição inicial.
Primeiro, vamos identificar o raio e a fase inicial para cada objeto a partir das posições iniciais dadas.
Para o objeto 1, a posição inicial é $ (1,299; 0,750) $. O raio $ A_1 $ é:
E a fase inicial $ \phi_1 $ é o ângulo cujo cosseno é $ \frac{1,299}{1,45} $ e o seno é $ \frac{0,750}{1,45} $, então:
Para o objeto 2, a posição inicial é $ (2,427; -1,763) $. O raio $ A_2 $ é:
E a fase inicial $ \phi_2 $ é:
Passo 4
Com todos os valores calculados, podemos agora montar as equações de movimento para cada objeto.
Para o objeto 1:
Para o objeto 2:
Resposta
As equações de movimento dos objetos são:
Objeto 1:
Objeto 2: