2(2.0)- Dois objetos são lançados para cima a partir do solo. O primeiro é lançado com velocidade inicial de
. O segundo é lançado após 1 s e com velocidade
. Sabendo que após 1 s (medido a partir do lançamento do segundo objeto) o segundo ultrapassou o primeiro, quanto vale v2. Qual o intervalo de tempo com que os dois tocam o solo.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que dois objetos são lançados pra cima a partir do chão (posição zero) com aceleração da gravidade g = 9,8 m/s².
• Objeto 1: lançado em t=0 com velocidade inicial v₁ = 40 m/s.
• Objeto 2: lançado em t=1 s com velocidade inicial v₂ (desconhecida).
Sabemos que, 1 s após o lançamento do objeto 2 (ou seja, em t = 2 s depois do início do objeto 1), o objeto 2 ultrapassa o objeto 1.
Precisamos de cinemática unidimensional (MUV):
• Equação da posição em MUV:
• Resolver sistemas de equações para achar v₂ e depois achar quando cada um retorna ao solo.
• Objeto 1: lançado em t=0 com velocidade inicial v₁ = 40 m/s.
• Objeto 2: lançado em t=1 s com velocidade inicial v₂ (desconhecida).
Sabemos que, 1 s após o lançamento do objeto 2 (ou seja, em t = 2 s depois do início do objeto 1), o objeto 2 ultrapassa o objeto 1.
Precisamos de cinemática unidimensional (MUV):
• Equação da posição em MUV:
• Resolver sistemas de equações para achar v₂ e depois achar quando cada um retorna ao solo.
Passo 2
Equação da altura do objeto 1 a partir de t=0:
.
Passo 3
Como o objeto 2 só sai em t=1 s, para t≥1 ele tem “tempo interno” τ = t – 1.
Então a altura dele é
.
A condição de ultrapassagem é: em t = 2 s, y₁(2) = y₂(2).
Então a altura dele é
A condição de ultrapassagem é: em t = 2 s, y₁(2) = y₂(2).
Passo 4
Calculando y₁(2):
y₁(2) = 40·2 – 4,9·(2)² = 80 – 19,6 = 60,4 m.
Em t=2, τ = 2–1 =1, então
y₂(2) = v₂·1 – 4,9·1² = v₂ – 4,9.
Igualando:
v₂ – 4,9 = 60,4
⇒ v₂ = 60,4 + 4,9 = 65,3 m/s.
y₁(2) = 40·2 – 4,9·(2)² = 80 – 19,6 = 60,4 m.
Em t=2, τ = 2–1 =1, então
y₂(2) = v₂·1 – 4,9·1² = v₂ – 4,9.
Igualando:
v₂ – 4,9 = 60,4
⇒ v₂ = 60,4 + 4,9 = 65,3 m/s.
Passo 5
Agora, quanto tempo cada um demora pra voltar ao solo (y=0)?
Objeto 1:
0 = 40 t – 4,9 t² ⇒ t(40 – 4,9 t) = 0 ⇒ t = 0 ou t = 40/4,9 ≈ 8,16 s.
Objeto 1:
0 = 40 t – 4,9 t² ⇒ t(40 – 4,9 t) = 0 ⇒ t = 0 ou t = 40/4,9 ≈ 8,16 s.
Objeto 2 (a partir de t=0 do sistema):
0 = v₂ (t–1) – 4,9 (t–1)² ⇒ (t–1)[v₂ – 4,9 (t–1)] = 0
⇒ t–1 = 0 (lançamento) ou t–1 = v₂/4,9
⇒ t = 1 + 65,3/4,9 ≈ 1 + 13,33 = 14,33 s.
0 = v₂ (t–1) – 4,9 (t–1)² ⇒ (t–1)[v₂ – 4,9 (t–1)] = 0
⇒ t–1 = 0 (lançamento) ou t–1 = v₂/4,9
⇒ t = 1 + 65,3/4,9 ≈ 1 + 13,33 = 14,33 s.
Se quiser o tempo de voo contado desde o lançamento dele, é 65,3/4,9 ≈ 13,33 s.
O intervalo entre os dois toques no solo (diferença dos instantes) é 14,33 – 8,16 ≈ 6,17 s.
O intervalo entre os dois toques no solo (diferença dos instantes) é 14,33 – 8,16 ≈ 6,17 s.
Resposta
v₂ ≈ 65,3 m/s.
O objeto 1 volta ao solo em t ≈ 8,16 s; o objeto 2, em t ≈ 14,33 s (ou 13,33 s após seu lançamento), daí o intervalo entre os pousos é ≈ 6,17 s.
O objeto 1 volta ao solo em t ≈ 8,16 s; o objeto 2, em t ≈ 14,33 s (ou 13,33 s após seu lançamento), daí o intervalo entre os pousos é ≈ 6,17 s.