Trace a curva com equações paramétricas
l x=2726 sen 8 t-839 sen 18 t y=-2726 cos 8 t+839 cos 18 t z=14465 sen 5 t

Passo 1

O enunciado nos dá uma curva no espaço por
x(t)=2726sin(8t);-;839sin(18t), y(t)=-2726cos(8t);+;839cos(18t), z(t)=14465sin(5t),
e pede que a tracemos (isto é, descrevamos sua forma ou esbocemos o gráfico). Vamos usar análise de periodicidades, projeção no plano xy e variação em z.

Passo 2

Primeiro, as frequências em x,y são 8 e 18, cujo período mínimo comum satisfaz
8T=2picdot4, 18T=2picdot9 Longrightarrow Txy=pi
Em z a frequência é 5, então
Tz=2pi5
Para fechar a curva no espaço precisamos de um T que seja múltiplo inteiro de pi e de 2pi/5. O menor é
T=2pi,
pois 2pi/pi=2 inteiro e 2pi/(2pi/5)=5 inteiro. Assim basta traçar tin[0,2pi].

Passo 3

Vamos ver a projeção no plano xy. Calculamos
r^2=x^2+y^2 =l(tfrac2726r)^2+l(tfrac839r)^2 -2l(tfrac2726r)l(tfrac839r)cos(10t)
Isto dá
r^2=C0 -C1cos(10t),
com C0approx1,1204 e C1approx0,4260. Logo r oscila dez vezes (pois cos(10t)) num ciclo completo de t, produzindo uma roseta de 10 “pétalas” na projeção xy. O raio varia entre
rminapprox0,8332, rmaxapprox1,2436

Passo 4

Em z temos
z(t)=14465sin(5t),
que oscila sinuosidalmente entre -tfrac14465 e +tfrac14465 com 5 ciclos completos quando t vai de 0 a 2pi.

Passo 5

Portanto, ao traçar tin[0,2pi] veremos uma curva fechada:
  • A projeção no plano xy é uma roseta de 10 pétalas.
  • Simultaneamente ela sobe e desce em z fazendo 5 ondas.
  • No fim t=2pi tudo volta ao ponto inicial.
Para esboçar, marque alguns valores de t em etapas de pi/10 e una os pontos no espaço, observando a roseta horizontal e a ondulação vertical.

Resposta

A curva é fechada de período 2pi; sua projeção em xy é uma roseta de 10 pétalas com raios entre approx0,8332 e approx1,2436, e em z oscila sinusoidalmente 5 vezes entre -144/65 e +144/65.

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