Enumere os múltiplos dos números a seguir e determine o mmc em cada caso.
2 e 3
2 e 3
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para os números dados
e
:
- Enumerar os múltiplos de cada número.
- Determinar o mmc (mínimo múltiplo comum) dos dois números, ou seja, o menor número positivo que é múltiplo de
e de ao mesmo tempo.
As informações dadas são apenas os dois números:
e
.
Passo 2
O que são múltiplos e como enumerá-los (explicação com calma).
- Definição: um número
é múltiplo de um inteiro se existe um inteiro positivo tal que . - Para enumerar os múltiplos de um número, basta multiplicar esse número por
.
Vamos fazer isso para cada caso, listando os primeiros múltiplos (suficiente para achar o mmc):
-
Múltiplos de
: calcular para . portanto os primeiros múltiplos sãoObservação: a sequência continua indefinidamente (sempre somando). -
Múltiplos de
: calcular para . portanto os primeiros múltiplos sãoObservação: a sequência continua indefinidamente (sempre somando).
Passo 3
Como encontrar o mmc (várias maneiras — explico as duas mais usadas e aplico aqui).
Método 1 — listagem direta:
- Procure o menor número que aparece em ambas as listas de múltiplos. Observando as listas acima, o primeiro número que aparece nas duas é
. Logo, o mmc é .
Método 2 — fatoração em primos (útil em números maiores):
- Fatorar cada número em potências de primos e tomar para cada primo a maior potência presente.
- Aqui:
Tomando e e multiplicando:
Método 3 — fórmula com o máximo divisor comum:
- A fórmula geral é
Primeiro calculamos o (máximo divisor comum) de e . Usando o algoritmo de Euclides rápido: então . Aplicando a fórmula:
Todas as três maneiras dão o mesmo resultado: o mmc é
.
Passo 4
Resumo prático (dica para prova): para números pequenos a listagem direta costuma ser mais rápida; para números maiores, use fatoração em primos ou a fórmula com
. Sempre verifique que o mmc encontrado é realmente múltiplo de ambos.
Resposta
Múltiplos de
:
Múltiplos de :
Múltiplos de