Enumere os múltiplos dos números a seguir e determine o mmc em cada caso.
2 e 3

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para os números dados 2 e 3:
  • Enumerar os múltiplos de cada número.
  • Determinar o mmc (mínimo múltiplo comum) dos dois números, ou seja, o menor número positivo que é múltiplo de 2 e de 3 ao mesmo tempo.
As informações dadas são apenas os dois números: 2 e 3.

Passo 2

O que são múltiplos e como enumerá-los (explicação com calma).
  • Definição: um número m é múltiplo de um inteiro a se existe um inteiro positivo k tal que m = k\cdot a.
  • Para enumerar os múltiplos de um número, basta multiplicar esse número por k=1,2,3,\dots.
Vamos fazer isso para cada caso, listando os primeiros múltiplos (suficiente para achar o mmc):
  • Múltiplos de 2: calcular k\cdot 2 para k=1,2,\dots.
    1\cdot 2 = 2,\quad 2\cdot 2 = 4,\quad 3\cdot 2 = 6,\quad 4\cdot 2 = 8,\quad 5\cdot 2 = 10,
    portanto os primeiros múltiplos são
    2,\;4,\;6,\;8,\;10,\;12,\;14,\;16,\;18,\;20,\dots
    Observação: a sequência continua indefinidamente (sempre somando 2).
  • Múltiplos de 3: calcular k\cdot 3 para k=1,2,\dots.
    1\cdot 3 = 3,\quad 2\cdot 3 = 6,\quad 3\cdot 3 = 9,\quad 4\cdot 3 = 12,\quad 5\cdot 3 = 15,
    portanto os primeiros múltiplos são
    3,\;6,\;9,\;12,\;15,\;18,\;21,\;24,\;27,\;30,\dots
    Observação: a sequência continua indefinidamente (sempre somando 3).

Passo 3

Como encontrar o mmc (várias maneiras — explico as duas mais usadas e aplico aqui).
Método 1 — listagem direta:
  • Procure o menor número que aparece em ambas as listas de múltiplos. Observando as listas acima, o primeiro número que aparece nas duas é 6. Logo, o mmc é 6.
Método 2 — fatoração em primos (útil em números maiores):
  • Fatorar cada número em potências de primos e tomar para cada primo a maior potência presente.
  • Aqui: 2 = 2, \qquad 3 = 3.Tomando 2^1 e 3^1 e multiplicando: \operatorname{mmc}(2,3)=2^1\cdot 3^1 = 6.
Método 3 — fórmula com o máximo divisor comum:
  • A fórmula geral é \operatorname{mmc}(a,b)=\frac{|a\cdot b|}{\gcd(a,b)}.Primeiro calculamos o \gcd (máximo divisor comum) de 2 e 3. Usando o algoritmo de Euclides rápido: 3 = 1\cdot 2 + 1,\qquad 2 = 2\cdot 1 + 0,então \gcd(2,3)=1. Aplicando a fórmula: \operatorname{mmc}(2,3)=\frac{2\cdot 3}{1}=6.
Todas as três maneiras dão o mesmo resultado: o mmc é 6.

Passo 4

Resumo prático (dica para prova): para números pequenos a listagem direta costuma ser mais rápida; para números maiores, use fatoração em primos ou a fórmula com \gcd. Sempre verifique que o mmc encontrado é realmente múltiplo de ambos.

Resposta

Múltiplos de 2: 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,\dots
Múltiplos de 3: 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,\dots
\operatorname{mmc}(2,3)=6

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