Dois patinadores de massa 60 kg deslizando sobre uma pista de gelo com atrito desprezível, aproximam-se um do outro com velocidades iguais e opostas de
, segundo retas paralelas, separadas por uma distância de 1,4 m. (a) Calcule o vetor momento angular do sistema. (b) Quando os patinadores chegam a 1,4 m um do outro, estendem os braços e dão-se as mãos, passando a girar em torno do centro de massa comum. Calcule a velocidade angular de rotação.
Passo 1
Então, temos um exercício de física que fala sobre dois patinadores, cada um com 60 kg, deslizando em uma pista de gelo sem atrito. Eles estão se aproximando um do outro com velocidades iguais e opostas de 5 m/s, seguindo trajetórias paralelas separadas por 1,4 metros. A gente vai trabalhar com os conceitos de momento angular e velocidade angular de rotação. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas de momento angular e momento de inércia, além das leis de conservação do momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o vetor momento angular do sistema. O momento angular (
) de um objeto em movimento é dado por:
onde
é o vetor posição em relação ao ponto de referência (neste caso, o centro de massa) e
é o momento linear.
Passo 3
Como os patinadores têm massas iguais e velocidades iguais e opostas, o centro de massa fica exatamente no meio da distância entre eles. Vamos escolher o centro de massa como nosso ponto de referência.
A distância entre eles é de 1,4 m, então cada patinador está a 0,7 m do centro de massa. O momento linear de cada patinador é:
Passo 4
Agora, calculamos o momento angular de cada patinador em relação ao centro de massa. Como os movimentos são perpendiculares aos vetores posição (já que as velocidades são opostas e paralelas), o produto vetorial simplifica para:
onde
(já que são perpendiculares), então
.
Portanto, o momento angular de cada patinador é:
Passo 5
Como os patinadores estão se movendo em direções opostas, seus momentos angulares estão na mesma direção (usando a regra da mão direita para o produto vetorial). Então, o momento angular total do sistema é a soma dos momentos angulares de cada patinador:
Passo 6
Agora, para a parte (b), quando os patinadores se pegam e começam a girar em torno do centro de massa, podemos usar a conservação do momento angular. O momento angular inicial (
) é igual ao momento angular final (
).
O momento de inércia (
) para duas partículas de massa
a uma distância
do centro de massa é:
Passo 7
O momento angular final é dado por:
onde
é a velocidade angular que queremos encontrar.
Como
:
Passo 8
Resolvendo para
:
Resposta
A velocidade angular de rotação dos patinadores é aproximadamente
.