Duas fendas distantes 0,260 mm uma da outra, colocadas a uma distância de 0,700 m de uma tela são iluminadas por uma luz coerente de comprimento de onda igual a 660 nm . A intensidade no centro máximo central (theta=0^circ) ) é igual a I0. (a) Qual é a distância sobre a tela entre o centro do máximo central e o primeiro mínimo? (b)Qual é a distância sobre a tela entre o centro do máximo central e o ponto no qual a intensidade se reduz à metade?
Resp:(a) 0,889 mm ; (b) 0,444 mm.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas fendas separadas por e distantes de uma tela. Uma luz com comprimento de onda está iluminando essas fendas de forma coerente. A intensidade no ponto central da tela ( ) é .
Precisamos resolver duas partes:
(a) Encontrar a distância na tela entre o centro do máximo central e o primeiro mínimo.
(b) Encontrar a distância na tela entre o centro do máximo central e o ponto onde a intensidade é reduzida à metade.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de interferência de dupla fenda, especificamente as fórmulas que relacionam a posição dos mínimos e máximos na tela com os parâmetros dados. Vamos precisar converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) e usar as aproximações válidas para pequenos ângulos.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): encontrar a distância entre o centro do máximo central e o primeiro mínimo.
Em interferência de dupla fenda, os mínimos ocorrem onde a diferença de caminho entre as duas fendas é y = (m + 12)lambda Ld , onde lambda = 660 , nm = 660 times 10^-9 , m é um número inteiro (0, 1, 2, …). Para o primeiro mínimo, L = 0,700 , m .
A fórmula para a posição do mínimo na tela é:
d = 0,260 , mm = 0,260 times 10^-3 , m
Onde:
  • m = 0 é a distância na tela,
  • y = (0 + 12) times 660 times 10^-9 times 0,7000,260 times 10^-3 = 0,5 times 660 times 10^-9 times 0,7000,260 times 10^-3 é o comprimento de onda da luz,
  • y approx 0,5 times 660 times 0,7000,260 times 10^-6 + 3 , m é a distância das fendas até a tela,
  • y approx 2310,260 times 10^-3 , m é a distância entre as fendas.
Vamos substituir os valores:
y approx 889 times 10^-6 , m = 0,889 , mm
Então:

Passo 3

Agora vamos para a parte (b): encontrar a distância na tela onde a intensidade é reduzida à metade ( I = I0 cos^2(pi d sin thetalambda) ).
A intensidade na interferência de dupla fenda é dada por:
I02 = I0 cos^2(pi d sin thetalambda)
Queremos encontrar o ponto onde 12 = cos^2(pi d sin thetalambda) :
cos(pi d sin thetalambda) = pm 1raiz2
Dividindo ambos os lados por pi d sin thetalambda = pm pi4, pm 3pi4, dots :
pi d sin thetalambda = pi4 implies sin theta = lambda4d
Tomando a raiz quadrada:
y = L tan theta approx L sin theta = lambda L4d
Isso acontece quando:
y = 660 times 10^-9 times 0,7004 times 0,260 times 10^-3 = 660 times 0,7004 times 0,260 times 10^-6 + 3 , m
Vamos considerar o primeiro caso positivo:
y approx 4621,04 times 10^-3 , m
Usando a aproximação de pequenos ângulos ( y approx 444 times 10^-6 , m = 0,444 , mm e ):
Substituindo os valores:

Resposta

(a) ;
(b) .

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