Dois planetas de massas iguais estão em órbitas circulares em torno de uma estrela. O raio da órbita do planeta X é menor que o do planeta Y. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
(A) O planeta X tem mais energia cinética, menos energia potencial e menos energia mecânica que o planeta Y.
(B) O planeta X tem mais energia cinética, mais energia potencial e mais energia mecânica que o planeta Y.
© O planeta X tem mais energia cinética, menos energia potencial e mais energia mecânica que o planeta Y.
(D) O planeta X tem menos energia cinética, mais energia potencial e mais energia mecânica que o planeta Y.
(E) Os planetas X e Y têm a mesma quantidade de energia mecânica.

Passo 1

Beleza, então vamos lá! O exercício fala sobre dois planetas com a mesma massa orbitando uma estrela em trajetórias circulares. O planeta X está mais perto da estrela (raio menor) que o planeta Y. A gente precisa analisar as energias cinética, potencial e mecânica desses planetas para ver qual das alternativas está correta. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia em órbitas circulares e as fórmulas relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma órbita circular, a força centrípeta que mantém o planeta na órbita é fornecida pela força gravitacional. A força gravitacional entre a estrela e o planeta é dada por:
F = G cdot M cdot mr^2
onde:
  • G é a constante gravitacional,
  • M é a massa da estrela,
  • m é a massa do planeta,
  • r é o raio da órbita.
Essa força é igual à força centrípeta, que é:
F = m cdot v^2r

Passo 3

Igualando as duas expressões da força:
G cdot M cdot mr^2 = m cdot v^2r
Podemos simplificar os m dos dois lados e multiplicar ambos os lados por r:
G cdot Mr = v^2
Então, a velocidade v do planeta na órbita é:
v = raizG cdot Mr

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia cinética ( Ec) do planeta, que é dada por:
Ec = 12 m v^2
Substituindo v^2 pela expressão que encontramos:
Ec = 12 m ( G cdot Mr ) = G cdot M cdot m2r

Passo 5

A energia potencial gravitacional ( Ep) é dada por:
Ep = -G cdot M cdot mr
Note que a energia potencial é negativa, indicando que o sistema está ligado gravitacionalmente.

Passo 6

A energia mecânica total ( Em) é a soma da energia cinética e da energia potencial:
Em = Ec + Ep = G cdot M cdot m2r - G cdot M cdot mr = -G cdot M cdot m2r

Passo 7

Agora, vamos analisar as relações das energias para os planetas X e Y.
  • Como rX < rY, então:
    • 1rX > 1rY
Portanto:
  • EcX = G cdot M cdot m2rX > G cdot M cdot m2rY = EcY → Energia cinética de X é maior que a de Y.
  • EpX = -G cdot M cdot mrX < -G cdot M cdot mrY = EpY → Energia potencial de X é mais negativa, ou seja, menor que a de Y.
  • EmX = -G cdot M cdot m2rX < -G cdot M cdot m2rY = EmY → Energia mecânica total de X é mais negativa, ou seja, menor que a de Y.

Passo 8

Comparando com as alternativas:
  • A) Correto: X tem mais energia cinética, menos energia potencial e menos energia mecânica que Y.
  • B) Incorreta: A energia potencial e mecânica de X não são maiores.
  • C) Incorreta: A energia mecânica de X não é maior.
  • D) Incorreta: A energia cinética de X não é menor.
  • E) Incorreta: As energias mecânicas são diferentes.

Resposta

Alternativa A: O planeta X tem mais energia cinética, menos energia potencial e menos energia mecânica que o planeta Y.

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