Dois planetas de massas iguais estão em órbitas circulares em torno de uma estrela. O raio da órbita do planeta
é menor que o do planeta Y. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
(A) O planeta
tem mais energia cinética, menos energia potencial e menos energia mecânica que o planeta
.
(B) O planeta
tem mais energia cinética, mais energia potencial e mais energia mecânica que o planeta
.
© O planeta
tem mais energia cinética, menos energia potencial e mais energia mecânica que o planeta
.
(D) O planeta
tem menos energia cinética, mais energia potencial e mais energia mecânica que o planeta
.
(E) Os planetas
e
têm a mesma quantidade de energia mecânica.
(A) O planeta
(B) O planeta
© O planeta
(D) O planeta
(E) Os planetas
Passo 1
Beleza, então vamos lá! O exercício fala sobre dois planetas com a mesma massa orbitando uma estrela em trajetórias circulares. O planeta X está mais perto da estrela (raio menor) que o planeta Y. A gente precisa analisar as energias cinética, potencial e mecânica desses planetas para ver qual das alternativas está correta. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia em órbitas circulares e as fórmulas relacionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em uma órbita circular, a força centrípeta que mantém o planeta na órbita é fornecida pela força gravitacional. A força gravitacional entre a estrela e o planeta é dada por:
onde:
-
é a constante gravitacional, -
é a massa da estrela, -
é a massa do planeta, -
é o raio da órbita.
Essa força é igual à força centrípeta, que é:
Passo 3
Igualando as duas expressões da força:
Podemos simplificar os
dos dois lados e multiplicar ambos os lados por
:
Então, a velocidade
do planeta na órbita é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a energia cinética (
) do planeta, que é dada por:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Passo 5
A energia potencial gravitacional (
) é dada por:
Note que a energia potencial é negativa, indicando que o sistema está ligado gravitacionalmente.
Passo 6
A energia mecânica total (
) é a soma da energia cinética e da energia potencial:
Passo 7
Agora, vamos analisar as relações das energias para os planetas X e Y.
- Como
, então: -
Portanto:
-
→ Energia cinética de X é maior que a de Y. -
→ Energia potencial de X é mais negativa, ou seja, menor que a de Y. -
→ Energia mecânica total de X é mais negativa, ou seja, menor que a de Y.
Passo 8
Comparando com as alternativas:
- A) Correto: X tem mais energia cinética, menos energia potencial e menos energia mecânica que Y.
- B) Incorreta: A energia potencial e mecânica de X não são maiores.
- C) Incorreta: A energia mecânica de X não é maior.
- D) Incorreta: A energia cinética de X não é menor.
- E) Incorreta: As energias mecânicas são diferentes.
Resposta
Alternativa A: O planeta
tem mais energia cinética, menos energia potencial e menos energia mecânica que o planeta
.