Uma partícula de massa e carga entra em uma região circular de raio com velocidade , direcionada para o centro . Na região circular, existe um campo magnético estacionário e uniforme descrito por -B0 Z, sendo B0=ctt>0. A partícula sai da região no ponto P. Determine o ângulo alpha indicado no esquema. cos ^-1(m vq B R).
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo e o que precisamos para resolver. Temos uma partícula com massa $ m $ e carga $ q > 0 $ que entra numa região circular de raio $ R $ com velocidade $ v $ direcionada para o centro $ \mathcal{O} $. Nessa região, existe um campo magnético uniforme m , onde $ B_{0} $ é uma constante positiva. A partícula sai da região no ponto $ \mathcal{P} $. O que precisamos descobrir é o ângulo $ \alpha $ indicado no esquema do exercício.
Para resolver isso, vamos precisar entender como partículas carregadas se movem em campos magnéticos, especificamente usando a força de Lorentz e o movimento circular resultante dessa força.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma partícula carregada que se move em um campo magnético sofre a chamada força de Lorentz, que é perpendicular tanto à velocidade da partícula quanto ao campo magnético. A fórmula para essa força é:
F = q v times B
No nosso caso, como o campo magnético é uniforme e direcionado na direção -Z, ou seja, vertical para baixo, e a velocidade inicial $ \boldsymbol{v} $ está direcionada para o centro da região circular, essa força vai agir como uma força centrípeta, fazendo a partícula se mover em trajetória circular.
Passo 3
A força centrípeta necessária para manter a partícula em movimento circular é dada por:
Fcentrípeta = m v^2R í
Essa força deve ser igual à componente da força de Lorentz que está direcionada para o centro, para que a partícula siga na trajetória circular até sair da região magnética no ponto $ \mathcal{P} $.
Passo 4
Igualando a força centrípeta à força de Lorentz, temos:
m v^2R = q v B0
Aqui, $ B_{0} $ é a intensidade do campo magnético, e $ v $ é a velocidade tangencial da partícula. Simplificando a equação:
B0
Isso nos dá uma relação entre os parâmetros da partícula e do campo magnético.
Passo 5
Agora, queremos encontrar o ângulo $ \alpha $ que a partícula percorreu enquanto estava na região magnética. Para isso, vamos considerar que a partícula está se movendo em um movimento circular completo de raio $ R $ com velocidade $ v $. O tempo que a partícula leva para dar essa volta completa (período $ T $) é dado por:
alpha
No entanto, a partícula não completa a volta inteira, mas apenas parte dela até sair no ponto $ \mathcal{P} $, formando um ângulo $ \alpha $.
Passo 6
A partir da relação $ \frac{m v}{R} = q B_{0} $, podemos resolver para $ v $:
m vR = q B0
Essa velocidade é crítica para determinar quanto da trajetória circular a partícula percorre antes de sair da região magnética.
Passo 7
O ângulo $ \alpha $ pode ser determinado usando a relação trigonométrica fornecida no enunciado:
alpha
Substituindo $ v $ pela expressão que encontramos:
alpha = cos^-1(m vq B R)
Isso mostra que o ângulo $ \alpha $ depende da razão entre a intensidade do campo magnético inicial $ B_{0} $ e o campo magnético $ B $.