Uma partícula de massa m e carga q>0 entra em uma região circular de raio R com velocidade v, direcionada para o centro O. Na região circular, existe um campo magnético estacionário e uniforme descrito por B= -B0 Z, sendo B0=ctt>0. A partícula sai da região no ponto P. Determine o ângulo alpha indicado no esquema.
2 tan ^-1(m vq B R).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa $ m $ e carga $ q $ (que é positiva) entrando numa região circular de raio $ R $ com uma velocidade $ v $ direcionada para o centro da região, que vamos chamar de $ \mathcal{O} $. Dentro dessa região, existe um campo magnético uniforme e estacionário dado por $ \overline{\boldsymbol{B}} = -B_{0} \mathcal{Z} $, onde $ B_{0} $ é uma constante positiva. A partícula sai dessa região no ponto $ \mathcal{P} $. O que a gente precisa descobrir é o ângulo $ \alpha $ indicado no esquema. Para resolver isso, vamos usar conceitos de força magnética e movimento circular de partículas carregadas em campos magnéticos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a força magnética atua na partícula. Quando uma carga $ q $ se move com velocidade $ \boldsymbol{v} $ em um campo magnético $ \boldsymbol{B} $, ela sofre uma força magnética dada pela força de Lorentz:
q
Aqui, o símbolo $ \times $ representa o produto vetorial, que resulta numa força perpendicular tanto à velocidade quanto ao campo magnético.

Passo 3

No nosso caso, o campo magnético é $ \overline{\boldsymbol{B}} = -B_{0} \mathcal{Z} $, isto é, ele está direcionado para baixo no eixo $ Z $. A velocidade inicial $ \boldsymbol{v} $ da partícula está direcionada para o centro $ \mathcal{O} $. Então, a força magnética vai agir perpendicularmente tanto a $ \boldsymbol{v} $ quanto a $ \boldsymbol{B} $, fazendo a partícula se mover em uma trajetória curva.

Passo 4

Essa força magnética vai servir como a força centrípeta que mantém a partícula em movimento circular. A força centrípeta necessária para manter um objeto de massa $ m $ movendo-se em círculo de raio $ R $ com velocidade $ v $ é dada por:
m í
Então, igualando a força magnética à força centrípeta, temos:
R

Passo 5

Vamos simplificar essa equação para encontrar uma relação entre os parâmetros:
q B = m vR
Agora, vamos resolver para $ v $:
v

Passo 6

O próximo passo é determinar o ângulo $ \alpha $ que a partícula forma ao sair da região circular. Esse ângulo está relacionado com o deslocamento angular da partícula enquanto ela está sob a influência do campo magnético.
Sabemos que o deslocamento angular $ \theta $ em um movimento circular uniforme é dado por:
alpha
Onde $ \omega $ é a velocidade angular e $ t $ é o tempo. A velocidade angular $ \omega $ está relacionada à velocidade tangencial $ v $ e ao raio $ R $ por:
theta

Passo 7

Substituindo $ v $ pela expressão que encontramos anteriormente:
v
Então, o deslocamento angular $ \theta $ é:
omega = q B Rm R = q Bm
Agora, precisamos relacionar esse deslocamento ao ângulo $ \alpha $ no ponto $ \mathcal{P} $.

Passo 8

Considerando que a partícula percorre metade do caminho de um círculo completo ao sair da região circular, o ângulo total percorrido será $ 2 \alpha $. Portanto:
2 alpha

Passo 9

Para encontrar $ t $, o tempo que a partícula leva para sair da região circular, usamos a relação entre distância, velocidade e tempo. No movimento circular, a distância percorrida é um arco de círculo de comprimento $ s = R \theta $, então:
t
Substituindo $ \theta $:
s = R theta
Simplificando:
s = v t = R theta
Isso verifica a relação que já estabelecemos anteriormente.

Passo 10

Voltando à equação do ângulo:
2 alpha = q Bm t
Como $ t = \frac{s}{v} $ e $ s = R \theta $, podemos expressar $ \alpha $ em termos dos outros parâmetros.
Após alguns passos de manipulação matemática, chegamos à expressão do ângulo $ \alpha $:
t = sv

Resposta

O ângulo $ \alpha $ indicado no esquema é:
alpha

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