Resolva a equação
, sabendo que ela admite uma raiz dupla.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação $ x^{3} - 4x^{2} - 3x + 18 = 0 $. O enunciado nos diz que essa equação tem uma raiz dupla, ou seja, uma solução que se repete. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra e entender como as raízes se comportam em polinômios de terceiro grau.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma raiz dupla significa que o polinômio pode ser fatorado como $ (x - a)^{2}(x - b) = 0 $, onde $ a $ é a raiz que se repete e $ b $ é a outra raiz. Nosso objetivo é descobrir os valores de $ a $ e $ b $.
Passo 3
Vamos expandir a fatoração $ (x - a)^{2}(x - b) $:
Passo 4
Agora, vamos comparar os coeficientes dessa expressão com os da equação original $ x^{3} - 4x^{2} - 3x + 18 = 0 $:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação:
Substituindo $ b $ na terceira equação:
Passo 6
Vamos tentar encontrar um valor inteiro para $ a $. Testando $ a = 3 $:
Então, $ a = 3 $ é uma solução. Agora, substituindo na equação $ b = 4 - 2a $:
Passo 7
Agora que temos $ a = 3 $ e $ b = -2 $, podemos escrever as raízes da equação original:
Portanto, as raízes são:
Resposta
As soluções da equação $ x^{3} - 4x^{2} - 3x + 18 = 0 $ são $ x = 3 $ (raiz dupla) e $ x = -2 $.