Resolva a equação x^3-4 x^2-3 x+18=0, sabendo que ela admite uma raiz dupla.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação $ x^{3} - 4x^{2} - 3x + 18 = 0 $. O enunciado nos diz que essa equação tem uma raiz dupla, ou seja, uma solução que se repete. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra e entender como as raízes se comportam em polinômios de terceiro grau.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma raiz dupla significa que o polinômio pode ser fatorado como $ (x - a)^{2}(x - b) = 0 $, onde $ a $ é a raiz que se repete e $ b $ é a outra raiz. Nosso objetivo é descobrir os valores de $ a $ e $ b $.

Passo 3

Vamos expandir a fatoração $ (x - a)^{2}(x - b) $:
(x - a)^2(x - b)
(x - a)^2(x - b) = (x^2 - 2a x + a^2)(x - b)
= x^3 - b x^2 - 2a x^2 + 2a b x + a^2 x - a^2 b

Passo 4

Agora, vamos comparar os coeficientes dessa expressão com os da equação original $ x^{3} - 4x^{2} - 3x + 18 = 0 $:
x^3 - 4x^2 - 3x + 18 = 0

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação:
b = 4 - 2a
Substituindo $ b $ na terceira equação:
b
a^2(4 - 2a) = -18
4a^2 - 2a^3 = -18
2a^3 - 4a^2 - 18 = 0

Passo 6

Vamos tentar encontrar um valor inteiro para $ a $. Testando $ a = 3 $:
a
Então, $ a = 3 $ é uma solução. Agora, substituindo na equação $ b = 4 - 2a $:
a = 3

Passo 7

Agora que temos $ a = 3 $ e $ b = -2 $, podemos escrever as raízes da equação original:
a = 3
Portanto, as raízes são:
b = -2

Resposta

As soluções da equação $ x^{3} - 4x^{2} - 3x + 18 = 0 $ são $ x = 3 $ (raiz dupla) e $ x = -2 $.

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