Inverta a ordem de integração.
(f) integral0^pi4[integral0^tan x f(x, y) d y] d x.

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração do iterado integral0^pi4 l[integral0^tan x f(x,y),dyr] dx. O conteúdo é mudança de ordem em integrais duplas e vamos precisar descrever a região de integração e trocar a forma “ dx,dy” para “ dy,dx”.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos a região D no plano (x,y). Ela é dada por
D = (x,y) : 0 <= x <= tfracpi4,; 0 <= y <= tan x

Passo 3

Para inverter a ordem, vemos que, conforme x varia de 0 a pi/4, y vai de 0 até tan x. O valor máximo de y no domínio é tan(pi/4)=1. Logo y varia entre 0 e 1.
Agora, para cada fixo yin[0,1], a condição y<=tan x equivale a x>= arctan(y). Além disso, x nunca ultrapassa pi/4. Assim, para cada y,
arctan(y) <= x <= tfracpi4

Passo 4

Portanto, a integral com ordem trocada fica
integraly=0^1 l[integralx=arctan(y)^pi4 f(x,y),dxr] dy

Resposta

integral0^1 integralarctan(y)^pi4 f(x,y),dx,dy

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