Dois pontos são escolhidos aleatoriamente no intervalo
. Qual a probabilidade de que a média aritmética dos dois números seja menor que
?
Passo 1
O enunciado diz: dois pontos são escolhidos aleatoriamente no intervalo
. A pergunta é: qual a probabilidade de que a média aritmética dos dois números seja menor que
?\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Temos dois números reais escolhidos aleatoriamente em
. - A condição a verificar é que a média aritmética seja menor que
, isto é, . - Não há mais restrições; assume-se escolha uniforme e independente dos dois números.
Passo 2
Modelagem do problema (explicação didática): represente os dois números escolhidos por
e
. Como a escolha é aleatória, uniforme e independente em
, o par
é uniformemente distribuído no quadrado unitário
Quando temos uma distribuição uniforme bidimensional no quadrado, a probabilidade de um evento é simplesmente a área (área geométrica) da região do quadrado que satisfaz a condição do evento, porque a densidade conjunta é constante e igual a
no quadrado. Ou seja, Probabilidade = área da região / área total, e a área total do quadrado é
.
Passo 3
Tradução da condição para uma desigualdade em
e
: a média aritmética ser menor que
equivale a
que multiplica-se por
(operação válida) para obter
Portanto queremos a área do conjunto de pontos
tais que
.
Passo 4
Descrição geométrica da região: no quadrado unitário, a curva
é uma reta com interceptos fora do quadrado, mas dentro do quadrado ela corta os lados em
e
. A região que satisfaz
é todo o quadrado exceto um triângulo no canto superior direito delimitado por
,
e
. Esse triângulo é um triângulo retângulo com catetos de comprimento
.
Passo 5
Cálculo da área por integração (passo a passo para você saber fazer na prova):
Podemos calcular a probabilidade integrando a densidade
sobre a região
. Para isso observamos que, para
em
, temos
, logo para esses
o valor máximo de
é
. Para
em
, o valor máximo de
é
. Assim a área é
Agora calculamos cada integral com calma:
- Primeiro termo:
- Segundo termo: calcule a primitiva de
, que é . Então
Avaliaremos nos extremos:
Simplificando:
logo o segundo integral é
Somando as duas partes:
Passo 6
Cheque geométrico (modo rápido e intuitivo que cai bem na prova): o triângulo excluído (onde
) tem catetos de comprimento
, então sua área é
Como o quadrado todo tem área
, a área desejada é
, confirmando o resultado da integração. Isso é útil de lembrar: muitas vezes probabilidades com variáveis uniformes em retângulos se resolvem com áreas geométricas rápidas.
Passo 7
Interpretação final e ânimo: a probabilidade de que a média aritmética dos dois números escolhidos no intervalo
seja menor que
é
. É uma resposta grande — faz sentido intuitivo porque
é relativamente alto dentro de
, então a maioria dos pares terá média abaixo disso. Você se saiu bem em entender o método geométrico; na prova use o método mais rápido (área do triângulo) se o tempo estiver curto.