Dois pontos são escolhidos aleatoriamente no intervalo [0,1]. Qual a probabilidade de que a média aritmética dos dois números seja menor que 3 / 4 ?

Passo 1

O enunciado diz: dois pontos são escolhidos aleatoriamente no intervalo [0,1]. A pergunta é: qual a probabilidade de que a média aritmética dos dois números seja menor que \tfrac{3}{4}?\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Temos dois números reais escolhidos aleatoriamente em [0,1].
  • A condição a verificar é que a média aritmética seja menor que \tfrac{3}{4}, isto é, \dfrac{x+y}{2} < \dfrac{3}{4}.
  • Não há mais restrições; assume-se escolha uniforme e independente dos dois números.

Passo 2

Modelagem do problema (explicação didática): represente os dois números escolhidos por x e y. Como a escolha é aleatória, uniforme e independente em [0,1], o par (x,y) é uniformemente distribuído no quadrado unitário
[0,1]\times[0,1].
Quando temos uma distribuição uniforme bidimensional no quadrado, a probabilidade de um evento é simplesmente a área (área geométrica) da região do quadrado que satisfaz a condição do evento, porque a densidade conjunta é constante e igual a 1 no quadrado. Ou seja, Probabilidade = área da região / área total, e a área total do quadrado é 1.

Passo 3

Tradução da condição para uma desigualdade em x e y: a média aritmética ser menor que \tfrac{3}{4} equivale a
\frac{x+y}{2} < \frac{3}{4}
que multiplica-se por 2 (operação válida) para obter
x+y < \frac{3}{2}.
Portanto queremos a área do conjunto de pontos (x,y)\in[0,1]^2 tais que x+y<\tfrac{3}{2}.

Passo 4

Descrição geométrica da região: no quadrado unitário, a curva x+y=\tfrac{3}{2} é uma reta com interceptos fora do quadrado, mas dentro do quadrado ela corta os lados em (1,\tfrac{1}{2}) e (\tfrac{1}{2},1). A região que satisfaz x+y<\tfrac{3}{2} é todo o quadrado exceto um triângulo no canto superior direito delimitado por (1,\tfrac{1}{2}), (\tfrac{1}{2},1) e (1,1). Esse triângulo é um triângulo retângulo com catetos de comprimento \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Cálculo da área por integração (passo a passo para você saber fazer na prova):
Podemos calcular a probabilidade integrando a densidade f(x,y)=1 sobre a região \{(x,y)\in[0,1]^2:\;x+y<\tfrac{3}{2}\}. Para isso observamos que, para x em [0,\tfrac{1}{2}], temos 3/2-x \ge 1, logo para esses x o valor máximo de y é 1. Para x em [\tfrac{1}{2},1], o valor máximo de y é 3/2-x. Assim a área é
\int_{0}^{1/2} 1\,dx \;+\; \int_{1/2}^{1} \left(\frac{3}{2}-x\right)\,dx.
Agora calculamos cada integral com calma:
  • Primeiro termo:
\int_{0}^{1/2} 1\,dx = \left[x\right]_{0}^{1/2} = \frac{1}{2}.
  • Segundo termo: calcule a primitiva de \tfrac{3}{2}-x, que é \tfrac{3}{2}x - \tfrac{x^{2}}{2}. Então
\int_{1/2}^{1} \left(\frac{3}{2}-x\right)\,dx = \left[\frac{3}{2}x - \frac{x^{2}}{2}\right]_{1/2}^{1}.
Avaliaremos nos extremos:
\left(\frac{3}{2}\cdot 1 - \frac{1^{2}}{2}\right) - \left(\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2} - \frac{(1/2)^{2}}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\right) - \left(\frac{3}{4}-\frac{1}{8}\right).
Simplificando:
\frac{3}{2}-\frac{1}{2} = 1, \qquad \frac{3}{4}-\frac{1}{8} = \frac{6}{8}-\frac{1}{8} = \frac{5}{8},
logo o segundo integral é
1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}.
Somando as duas partes:
\frac{1}{2} + \frac{3}{8} = \frac{4}{8} + \frac{3}{8} = \frac{7}{8}.

Passo 6

Cheque geométrico (modo rápido e intuitivo que cai bem na prova): o triângulo excluído (onde x+y\ge\tfrac{3}{2}) tem catetos de comprimento \tfrac{1}{2}, então sua área é
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{8}.
Como o quadrado todo tem área 1, a área desejada é 1-\tfrac{1}{8}=\tfrac{7}{8}, confirmando o resultado da integração. Isso é útil de lembrar: muitas vezes probabilidades com variáveis uniformes em retângulos se resolvem com áreas geométricas rápidas.

Passo 7

Interpretação final e ânimo: a probabilidade de que a média aritmética dos dois números escolhidos no intervalo [0,1] seja menor que \tfrac{3}{4} é \tfrac{7}{8}. É uma resposta grande — faz sentido intuitivo porque \tfrac{3}{4} é relativamente alto dentro de [0,1], então a maioria dos pares terá média abaixo disso. Você se saiu bem em entender o método geométrico; na prova use o método mais rápido (área do triângulo) se o tempo estiver curto.

Resposta

\tfrac{7}{8}

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