Um número real
é escolhido aleatoriamente no intervalo
. Qual a probabilidade de que
.
Passo 1
O enunciado diz que um número real
é escolhido aleatoriamente no intervalo
. A pergunta é: qual a probabilidade de que
?\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:\n
- O espaço amostral (intervalo onde
pode cair) é .\n - A escolha é aleatória e, quando não dito o contrário, assume-se distribuição uniforme contínua no intervalo.\n
- Queremos a probabilidade do evento
.\n
Passo 2
O que significa calcular essa probabilidade na distribuição uniforme contínua? Vou explicar devagar: quando
é escolhido uniformemente em um intervalo
, a probabilidade de que
caia em qualquer subconjunto
é a razão entre o comprimento (medida) de
e o comprimento do intervalo todo
.\n
Matematicamente:\n
Matematicamente:\n
Aqui
,
, então o comprimento total é
. Portanto, tudo o que precisamos é encontrar o subconjunto
de valores de
em
que satisfazem
e calcular seu comprimento.
Passo 3
Vamos resolver a desigualdade
. Primeiro passo algébrico: fatorar a expressão quadrática quando possível.\n
Colocando em fator comum:\n
Colocando em fator comum:\n
Portanto a desigualdade fica\n
Passo 4
Regra prática (mini-aula): o produto de dois fatores
é negativo quando os fatores têm sinais opostos (um positivo e outro negativo). Para
os zeros (raízes) são os valores que anulam cada fator:\n
Esses pontos dividem a reta em três intervalos:
,
e
. Em qual desses intervalos o produto
é negativo? Podemos testar um ponto em cada intervalo (método do teste de sinais).
Passo 5
Teste de sinais (exemplos concretos):\n
- Para
(que está em ): . Então ali o produto é positivo.\n - Para
(que está em ): . Então nesse intervalo o produto é negativo.\n - Para
(que está em ): . Produto positivo.\n
Conclusão: a desigualdadeé satisfeita exatamente para os entre as raízes, ou seja,\n
isto é, o conjunto solução é o intervalo aberto
.
Passo 6
Agora intersectamos a solução
com o domínio dado pelo enunciado
. A interseção é
(porque
). Note que as extremidades
e
não pertencem ao conjunto solução por ser desigualdade estrita, mas em probabilidade contínua pontos isolados têm medida zero — isso não altera o comprimento do intervalo.
Passo 7
Calcule os comprimentos:\n
- Comprimento do evento favorável
é .\n - Comprimento do espaço amostral
é .\n
Pela regra da distribuição uniforme, a probabilidade pedida é\n