Um número real x é escolhido aleatoriamente no intervalo [-1,2]. Qual a probabilidade de que x^{2}- 2 x<0.

Passo 1

O enunciado diz que um número real x é escolhido aleatoriamente no intervalo [-1,2]. A pergunta é: qual a probabilidade de que \,x^{2}-2x<0?\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:\n
  • O espaço amostral (intervalo onde x pode cair) é [-1,2].\n
  • A escolha é aleatória e, quando não dito o contrário, assume-se distribuição uniforme contínua no intervalo.\n
  • Queremos a probabilidade do evento \{x\in[-1,2]\mid x^{2}-2x<0\}.\n

Passo 2

O que significa calcular essa probabilidade na distribuição uniforme contínua? Vou explicar devagar: quando x é escolhido uniformemente em um intervalo [a,b], a probabilidade de que x caia em qualquer subconjunto S\subset[a,b] é a razão entre o comprimento (medida) de S e o comprimento do intervalo todo [a,b].\n
Matematicamente:\n
\text{Probabilidade}=\frac{\text{comprimento de }S}{\text{comprimento de }[a,b]}.
Aqui a=-1, b=2, então o comprimento total é \,2-(-1)=3. Portanto, tudo o que precisamos é encontrar o subconjunto S de valores de x em [-1,2] que satisfazem \,x^{2}-2x<0 e calcular seu comprimento.

Passo 3

Vamos resolver a desigualdade \,x^{2}-2x<0. Primeiro passo algébrico: fatorar a expressão quadrática quando possível.\n
Colocando em fator comum:\n
x^{2}-2x = x(x-2).
Portanto a desigualdade fica\n
x(x-2)<0.

Passo 4

Regra prática (mini-aula): o produto de dois fatores A\cdot B é negativo quando os fatores têm sinais opostos (um positivo e outro negativo). Para x(x-2) os zeros (raízes) são os valores que anulam cada fator:\n
x=0\quad\text{e}\quad x=2.
Esses pontos dividem a reta em três intervalos: (-\infty,0), (0,2) e (2,\infty). Em qual desses intervalos o produto x(x-2) é negativo? Podemos testar um ponto em cada intervalo (método do teste de sinais).

Passo 5

Teste de sinais (exemplos concretos):\n
  • Para x=-1 (que está em (-\infty,0)): x(x-2)=(-1)((-1)-2)=(-1)(-3)=3>0. Então ali o produto é positivo.\n
  • Para x=1 (que está em (0,2)): x(x-2)=1\cdot(1-2)=1\cdot(-1)=-1<0. Então nesse intervalo o produto é negativo.\n
  • Para x=3 (que está em (2,\infty)): x(x-2)=3\cdot1=3>0. Produto positivo.\n
    Conclusão: a desigualdade x(x-2)<0 é satisfeita exatamente para os x entre as raízes, ou seja,\n
0<x<2,
isto é, o conjunto solução é o intervalo aberto (0,2).

Passo 6

Agora intersectamos a solução (0,2) com o domínio dado pelo enunciado [-1,2]. A interseção é (0,2) (porque (0,2)\subset[-1,2]). Note que as extremidades 0 e 2 não pertencem ao conjunto solução por ser desigualdade estrita, mas em probabilidade contínua pontos isolados têm medida zero — isso não altera o comprimento do intervalo.

Passo 7

Calcule os comprimentos:\n
  • Comprimento do evento favorável S=(0,2) é 2-0=2.\n
  • Comprimento do espaço amostral [-1,2] é 2-(-1)=3.\n
    Pela regra da distribuição uniforme, a probabilidade pedida é\n
\text{Prob}=\frac{\text{comprimento de }(0,2)}{\text{comprimento de }[-1,2]}=\frac{2}{3}.

Resposta

\frac{2}{3}

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