(ESCOLA NAVAL) Considere um quadrado de vértices em (0,0),(1,0),(0,1) e (1,1). Suponha que a probabilidade de uma região A , contida no quadrado, seja a área desta região. Considere a região
\mathrm{A}=\left\{(\mathrm{x}, \mathrm{y}) \in \mathbb{R}^{2} / \mathrm{x} \geq \frac{2}{3} \text { ou } \mathrm{y} \geq \frac{2}{3}\right\}
Acha P(A).

Passo 1

O enunciado dá um quadrado com vértices em (0,0),(1,0),(0,1),(1,1). A probabilidade de uma região contida nesse quadrado é igual à área dessa região. A região pedida é
\mathrm{A}=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x\geq\frac{2}{3}\\ \text{ou}\\ y\geq\frac{2}{3}\right\}.
O que o problema pede: calcular P(A), que aqui significa a área da região \mathrm{A} dentro do quadrado unitário.

Passo 2

Explicação do raciocínio que vamos usar (didático): \n
Uma forma direta é ver \mathrm{A} como a união de duas regiões:
\mathrm{A}_x=\{(x,y)\mid x\geq\tfrac{2}{3}\}
e
\mathrm{A}_y=\{(x,y)\mid y\geq\tfrac{2}{3}\}.
A área da união é dada pela fórmula da inclusão-exclusão:
\text{área}(\mathrm{A}_x\cup\mathrm{A}_y)=\text{área}(\mathrm{A}_x)+\text{área}(\mathrm{A}_y)-\text{área}(\mathrm{A}_x\cap\mathrm{A}_y).áááá
Vou explicar cada termo: \text{área}(\mathrm{A}_x)á é a área do retângulo no quadrado com x variando de \tfrac{2}{3} até 1 e y de 0 a 1. Mesma ideia para \mathrm{A}_y. A interseção \mathrm{A}_x\cap\mathrm{A}_y é o quadrado onde ambos x e y são \geq\tfrac{2}{3}.

Passo 3

Calcular \text{área}(\mathrm{A}_x)á e \text{área}(\mathrm{A}_y)á: \n
O comprimento em x do retângulo \mathrm{A}_x é
1-\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3},
e a altura em y é 1. Portanto
\text{área}(\mathrm{A}_x)=\tfrac{1}{3}\cdot 1=\tfrac{1}{3}.á
Por simetria, \text{área}(\mathrm{A}_y)=\tfrac{1}{3}á.

Passo 4

Calcular \text{área}(\mathrm{A}_x\cap\mathrm{A}_y)á: \n
A interseção é o quadrado com \,x\in[\tfrac{2}{3},1] e y\in[\tfrac{2}{3},1]. O lado desse quadrado tem comprimento
1-\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3},
logo a área da interseção é
\text{área}(\mathrm{A}_x\cap\mathrm{A}_y)=\left(\tfrac{1}{3}\right)^2=\tfrac{1}{9}.á

Passo 5

Aplicar inclusão-exclusão e simplificar: \n
\text{área}(\mathrm{A})=\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{9}=\tfrac{2}{3}-\tfrac{1}{9}.á
Colocando no mesmo denominador:
\tfrac{2}{3}=\tfrac{6}{9},
portanto
\text{área}(\mathrm{A})=\tfrac{6}{9}-\tfrac{1}{9}=\tfrac{5}{9}.á
Comentário didático extra (opcional): uma forma alternativa e muito simples é usar o complemento: o complemento de \mathrm{A} no quadrado é \{x<\tfrac{2}{3}\\ \text{e}\\ y<\tfrac{2}{3}\}, que é um quadrado de lado \tfrac{2}{3} com área \left(\tfrac{2}{3}\right)^2=\tfrac{4}{9}. Como o quadrado total tem área 1, temos \text{área}(\mathrm{A})=1-\tfrac{4}{9}=\tfrac{5}{9}á, igual ao resultado acima.

Resposta

\tfrac{5}{9}

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