(ESCOLA NAVAL) Considere um quadrado de vértices em
e
. Suponha que a probabilidade de uma região A , contida no quadrado, seja a área desta região. Considere a região
Acha
.
Passo 1
O enunciado dá um quadrado com vértices em
. A probabilidade de uma região contida nesse quadrado é igual à área dessa região. A região pedida é
O que o problema pede: calcular
, que aqui significa a área da região
dentro do quadrado unitário.
Passo 2
Explicação do raciocínio que vamos usar (didático): \n
Uma forma direta é ver como a união de duas regiões:
Uma forma direta é ver
e
A área da união é dada pela fórmula da inclusão-exclusão:
Vou explicar cada termo:
é a área do retângulo no quadrado com
variando de
até
e
de
a
. Mesma ideia para
. A interseção
é o quadrado onde ambos
e
são
.
Passo 3
Calcular
e
: \n
O comprimento em do retângulo
é
O comprimento em
e a altura em
é
. Portanto
Por simetria,
.
Passo 4
Calcular
: \n
A interseção é o quadrado com e
. O lado desse quadrado tem comprimento
A interseção é o quadrado com
logo a área da interseção é
Passo 5
Aplicar inclusão-exclusão e simplificar: \n
Colocando no mesmo denominador:
portanto
Comentário didático extra (opcional): uma forma alternativa e muito simples é usar o complemento: o complemento de
no quadrado é
, que é um quadrado de lado
com área
. Como o quadrado total tem área
, temos
, igual ao resultado acima.