Um ponto é selecionado aleatoriamente dentro de um triângulo equilátero, cujo comprimento do lado é 3 . Encontre a probabilidade de sua distância a qualquer vértice ser maior que 1.
Passo 1
O enunciado: Um ponto é selecionado aleatoriamente dentro de um triângulo equilátero cujo comprimento do lado é
. Pede-se a probabilidade de que a distância do ponto a qualquer vértice seja maior que
.
Informações dadas e o que se pede:
Informações dadas e o que se pede:
- O triângulo é equilátero com lado
. - O ponto é escolhido de forma uniforme dentro do triângulo.
- Queremos a probabilidade de que a distância do ponto a cada vértice seja maior que
(ou seja, que o ponto esteja a mais de unidade de todos os três vértices). - Insumo útil: área do triângulo e áreas das regiões próximas aos vértices que devem ser excluídas (onde a distância a algum vértice é
).
Passo 2
Estratégia (explicação da ideia sem cálculos ainda, só para orientar): como a seleção é uniforme, a probabilidade pedida é a razão entre a área das posições “válidas” (pontos que ficam a mais de
de todos os vértices) e a área total do triângulo. Ou seja,
Vou calcular a área do triângulo e a área que precisa ser subtraída perto dos vértices (onde a distância a algum vértice
), e então obter a razão.
Passo 3
Calcular a área do triângulo equilátero de lado
. Fórmula da área de um triângulo equilátero de lado
:
onde
é o comprimento do lado. Aqui
, portanto
Expliquei: essa fórmula vem de
e a altura de um equilátero é
.
Passo 4
Identificar a região que deve ser removida (pontos que estão a distância
de algum vértice). Perto de cada vértice, os pontos com distância
formam um disco de raio
centrado no vértice, mas só a parte desse disco que fica dentro do triângulo interessa. No vértice de um triângulo equilátero o ângulo interno vale
, isto é,
radianos. A porção do disco de raio
que está dentro do triângulo é, portanto, um setor circular de raio
e ângulo
.
Fórmula da área de um setor circular de raio
e ângulo
(em radianos):
onde
é o raio e
é o ângulo em radianos. Aqui
e
, então a área de cada setor é
Passo 5
Verificar se os três setores (um em cada vértice) se sobrepõem dentro do triângulo ou não. A distância entre quaisquer dois vértices é o lado do triângulo, isto é,
. Como cada setor vem de um disco de raio
, os discos centrais teriam soma de raios
, que é menor que
. Portanto os discos (e, portanto, os setores dentro do triângulo) não se sobrepõem. Conclusão: a área total a ser removida é a soma das áreas dos três setores.
Passo 6
Calcular a área total removida (a soma dos três setores):
Explicando: três vértices
área
cada.
Passo 7
Calcular a área favorável (pontos que ficam a mais de
de todos os vértices):
Passo 8
Calcular a probabilidade como razão entre área favorável e área do triângulo. Fazendo a conta:
Posso dar uma aproximação numérica rápida para intuir o valor:
, então a fração
é aproximadamente
, e a probabilidade fica por volta de
. Mas a forma exata é preferível.