Um ponto é selecionado aleatoriamente dentro de um triângulo equilátero, cujo comprimento do lado é 3 . Encontre a probabilidade de sua distância a qualquer vértice ser maior que 1.

Passo 1

O enunciado: Um ponto é selecionado aleatoriamente dentro de um triângulo equilátero cujo comprimento do lado é \,3. Pede-se a probabilidade de que a distância do ponto a qualquer vértice seja maior que \,1.
Informações dadas e o que se pede:
  • O triângulo é equilátero com lado \,3.
  • O ponto é escolhido de forma uniforme dentro do triângulo.
  • Queremos a probabilidade de que a distância do ponto a cada vértice seja maior que \,1 (ou seja, que o ponto esteja a mais de \,1 unidade de todos os três vértices).
  • Insumo útil: área do triângulo e áreas das regiões próximas aos vértices que devem ser excluídas (onde a distância a algum vértice é \le 1).

Passo 2

Estratégia (explicação da ideia sem cálculos ainda, só para orientar): como a seleção é uniforme, a probabilidade pedida é a razão entre a área das posições “válidas” (pontos que ficam a mais de \,1 de todos os vértices) e a área total do triângulo. Ou seja,
\text{probabilidade}=\frac{\text{área favorável}}{\text{área do triângulo}}.áááâ
Vou calcular a área do triângulo e a área que precisa ser subtraída perto dos vértices (onde a distância a algum vértice \le 1), e então obter a razão.

Passo 3

Calcular a área do triângulo equilátero de lado \,3. Fórmula da área de um triângulo equilátero de lado \,a:
\text{área}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2},á
onde \,a é o comprimento do lado. Aqui \,a=3, portanto
\text{área do triângulo}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 3^{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 9=\frac{9\sqrt{3}}{4}.áâ
Expliquei: essa fórmula vem de \text{área}=\tfrac{1}{2}\times\text{base}\times\text{altura}á e a altura de um equilátero é \tfrac{\sqrt{3}}{2}a.

Passo 4

Identificar a região que deve ser removida (pontos que estão a distância \le 1 de algum vértice). Perto de cada vértice, os pontos com distância \le 1 formam um disco de raio \,1 centrado no vértice, mas só a parte desse disco que fica dentro do triângulo interessa. No vértice de um triângulo equilátero o ângulo interno vale \,60^\circ, isto é, \,\frac{\pi}{3} radianos. A porção do disco de raio \,1 que está dentro do triângulo é, portanto, um setor circular de raio \,1 e ângulo \,\frac{\pi}{3}.
Fórmula da área de um setor circular de raio \,r e ângulo \,\theta (em radianos):
\text{área do setor}=\frac{1}{2}r^{2}\theta,á
onde \,r é o raio e \,\theta é o ângulo em radianos. Aqui \,r=1 e \,\theta=\frac{\pi}{3}, então a área de cada setor é
\text{área de um setor}=\frac{1}{2}\cdot 1^{2}\cdot\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}.á

Passo 5

Verificar se os três setores (um em cada vértice) se sobrepõem dentro do triângulo ou não. A distância entre quaisquer dois vértices é o lado do triângulo, isto é, \,3. Como cada setor vem de um disco de raio \,1, os discos centrais teriam soma de raios \,1+1=2, que é menor que \,3. Portanto os discos (e, portanto, os setores dentro do triângulo) não se sobrepõem. Conclusão: a área total a ser removida é a soma das áreas dos três setores.

Passo 6

Calcular a área total removida (a soma dos três setores):
\text{área removida}=3\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}.á
Explicando: três vértices \times área \frac{\pi}{6} cada.

Passo 7

Calcular a área favorável (pontos que ficam a mais de \,1 de todos os vértices):
\text{área favorável}=\text{área do triângulo}-\text{área removida=\\ }\frac{9\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi}{2}.áááâá

Passo 8

Calcular a probabilidade como razão entre área favorável e área do triângulo. Fazendo a conta:
\text{probabilidade}=\frac{\displaystyle \frac{9\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi}{2}}{\displaystyle \frac{9\sqrt{3}}{4}} =1-\frac{\displaystyle \frac{\pi}{2}}{\displaystyle \frac{9\sqrt{3}}{4}} =1-\frac{2\pi}{9\sqrt{3}}.
Posso dar uma aproximação numérica rápida para intuir o valor: \,\sqrt{3}\approx 1{,}732, então a fração \frac{2\pi}{9\sqrt{3}} é aproximadamente \,0{,}401, e a probabilidade fica por volta de \,0{,}599. Mas a forma exata é preferível.

Resposta

1-\dfrac{2\pi}{9\sqrt{3}}

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