Em dois pontos, separados por 5 km , de um certo sistema de referência inercial, dois pulsos de luz são emitidos com intervalo de tempo de 5 mu s. Um observador viajando paralelo à linha que une os pontos onde os pulsos são emitidos, a uma velocidade v com respeito àquele referencial, nota que os pulsos são simultâneos. Calcule o valor da velocidade v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois pontos separados por 5 km em um referencial inercial, onde dois pulsos de luz são emitidos com um intervalo de tempo de 5,mus. Tem um observador se movendo nessa linha a uma velocidade v que, no seu referencial, vê os dois pulsos sendo emitidos ao mesmo tempo. Nosso objetivo é encontrar o valor dessa velocidade v. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de Relatividade Especial, especificamente as transformações de Lorentz que relacionam os tempos e posições nos dois referenciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a Relatividade Especial lida com eventos que são simultâneos em um referencial e não simultâneos em outro. As transformações de Lorentz nos ajudam a relacionar o tempo e a posição dos eventos em diferentes referenciais que estão em movimento relativo um ao outro.

Passo 3

A fórmula de transformação de tempo de Lorentz é dada por:
De<a t' = gamma ( De<a t - v De<a xc^2 )
Aqui:
  • De<a t' é o intervalo de tempo entre os eventos no referencial do observador em movimento.
  • De<a t é o intervalo de tempo no referencial original.
  • De<a x é a distância entre os eventos no referencial original.
  • v é a velocidade relativa entre os referenciais.
  • c é a velocidade da luz.
  • gamma é o fator de Lorentz, dado por gamma = 1raiz1 - v^2c^2.

Passo 4

No enunciado, sabemos que no referencial do observador em movimento, os pulsos são simultâneos, ou seja, De<a t' = 0. Vamos substituir isso na equação:
0 = gamma ( De<a t - v De<a xc^2 )
Como gamma nunca é zero, podemos simplificar para:
De<a t - v De<a xc^2 = 0

Passo 5

Agora, vamos isolar a velocidade v:
De<a t = v De<a xc^2
v = De<a t cdot c^2De<a x

Passo 6

Vamos agora substituir os valores fornecidos no problema:
  • De<a t = 5,mus = 5 times 10^-6,s
  • De<a x = 5,km = 5 times 10^3,m
  • c = 3 times 10^8,m/s
Substituindo na fórmula:
v = 5 times 10^-6,s times (3 times 10^8,m/s)^25 times 10^3,m

Passo 7

Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calcular c^2:
(3 times 10^8)^2 = 9 times 10^16,m^2/s^2
Agora, multiplicar por De<a t:
5 times 10^-6 times 9 times 10^16 = 4.5 times 10^11,m^2/s
Por fim, dividir por De<a x:
v = 4.5 times 10^115 times 10^3 = 9 times 10^7,m/s

Resposta

A velocidade v é igual a 9 times 10^7,m/s.

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