Um trem muito rápido, possuindo comprimento próprio
, passa através de uma estação que tem uma plataforma de comprimento
. Qual deve ser velocidade
do trem para que um observador na plataforma veja a traseira do trem coincidir com uma extremidade da estação no mesmo instante em que vê sua dianteira coincidir com a outra extremidade da estação?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um trem que é mais comprido que a plataforma por onde ele está passando. O comprimento próprio do trem é
e o da plataforma é
, onde
. A pergunta quer saber qual a velocidade
que o trem deve ter para que, de uma vez só, a parte de trás do trem alinhe com uma extremidade da plataforma exatamente quando a dianteira alinhar com a outra extremidade.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de contração do comprimento da teoria da relatividade restrita de Einstein. Essa teoria explica como os objetos em movimento se contraem na direção do movimento quando observados de um referencial que está em repouso.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar a fórmula da contração do comprimento:
onde
é o fator de Lorentz, que é dado por:
Aqui,
é a velocidade da luz.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar a velocidade
que faz com que o comprimento observado do trem seja igual ao comprimento da plataforma
. Então, podemos igualar as duas expressões:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, vamos isolar
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 5
Vamos isolar
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Finalmente, tiramos a raiz quadrada dos dois lados para encontrar
:
Resposta
A velocidade do trem deve ser: