Uma empresa precisa adquirir um sensor de pressão para um sistema de vapor de baixa pressão e possui duas opções no mercado. Os custos são apresentados a seguir. Com base em uma comparação do custo anual, a uma taxa de juros de 9% a.a., qual deles deve ser selecionado?
Tipo X Tipo Y
Custo de aquisição -7.650 -12.900
Custo operacional anual $/ano -1.200 -900
Valor recuperado 0 2.000
Vida útil (anos) 2 4

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que se pede.
Dados (pegos da tabela do enunciado):
  • Tipo X:
    • Custo de aquisição: -7.650 (ou seja, custo inicial de \$7.650)
    • Custo operacional anual: -1.200 (ou seja, custo anual de \$1.200)
    • Valor recuperado (salvage): 0
    • Vida útil: 2 anos
  • Tipo Y:
    • Custo de aquisição: -12.900 (ou seja, custo inicial de \$12.900)
    • Custo operacional anual: -900 (ou seja, custo anual de \$900)
    • Valor recuperado (salvage): \$2.000
    • Vida útil: 4 anos
O enunciado pede:
  • Comparar os equipamentos pelo custo anual equivalente (taxa de juros 9\% a.a.) e dizer qual deles deve ser selecionado (ou seja, qual tem menor custo anual).

Passo 2

Explicando o método que vamos usar (passo-a-passo didático): anualizar os custos para comparar alternativas com vidas diferentes.
Ideia geral:
  • Converter todos os fluxos de caixa de cada alternativa para um custo uniforme por ano (chamado de custo anual equivalente, A). Assim podemos comparar diretamente.
  • Fórmula usada: se uma alternativa tem custo inicial P_0 (positivo como magnitude do custo), custo operacional anual C, salvage S recebido ao fim da vida n anos, então o custo anual equivalente é
A = P_0\cdot\left(A/P,\,i,\,n\right) + C - S\cdot\left(A/F,\,i,\,n\right).
Aqui:
  • \left(A/P,\,i,\,n\right) é o fator de recuperação de capital (converte um valor presente P_0 em um pagamento anual equivalente).
  • \left(A/F,\,i,\,n\right) é o fator que converte um valor futuro F em pagamentos anuais equivalentes (sinking fund factor).
  • i é a taxa de juros por período (aqui i=0{,}09).
Agora as fórmulas explícitas dos fatores (para você decorar, são úteis na prova):
\left(A/P,\,i,\,n\right) = \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n - 1}
\left(A/F,\,i,\,n\right) = \frac{i}{(1+i)^n - 1}
Explicação rápida do porquê:
  • \left(A/P\right) vem de equacionar uma série de pagamentos anuais que, capitalizados, equivalem ao presente P_0.
  • \left(A/F\right) vem de calcular quanto pagar por ano para acumular um certo F no final — para um salvage S positivo, isso representa uma redução do custo anual, por isso subtrai-se S\cdot(A/F).

Passo 3

Calcular os fatores numéricos para i=9\%=0{,}09.
Primeiro para o Tipo X com n=2:
(1+i)^2 = 1{,}09^2 = 1{,}1881.
\left(A/P,\,0{,}09,\,2\right) = \frac{0{,}09\cdot 1{,}1881}{1{,}1881 - 1} = \frac{0{,}106929}{0{,}1881}\approx 0{,}5687.
\left(A/F,\,0{,}09,\,2\right) = \frac{0{,}09}{1{,}1881 - 1} = \frac{0{,}09}{0{,}1881}\approx 0{,}4788.
(Observação: para o Tipo X não precisaremos do termo de salvage porque S=0, mas calculei ambos os fatores para ilustrar.)
Agora para o Tipo Y com n=4:
(1+i)^4 = 1{,}09^4 \approx 1{,}41157961 \quad(\text{calc.: }1{,}1881^2 \approx 1{,}41157961).
\left(A/P,\,0{,}09,\,4\right) = \frac{0{,}09\cdot 1{,}41157961}{1{,}41157961 - 1} = \frac{0{,}127042}{0{,}41157961}\approx 0{,}30861.
\left(A/F,\,0{,}09,\,4\right) = \frac{0{,}09}{1{,}41157961 - 1} = \frac{0{,}09}{0{,}41157961}\approx 0{,}21870.
Dica prática: na prova, memorizando as fórmulas dos fatores e sabendo calcular 1{,}09^n para pequenos n (2, 3, 4) já resolve a maioria dos problemas. Use aproximação com 4 casas decimais para estabilidade.

Passo 4

Aplicar a fórmula do custo anual equivalente para o Tipo X.
Para o Tipo X:
  • P_0 = 7.650
  • C = 1.200
  • S = 0
  • n=2
  • \left(A/P,\,0{,}09,\,2\right)\approx 0{,}5687
Calculando:
A_X = 7.650\cdot 0{,}5687 + 1.200 - 0\cdot\left(A/F\right).
Multiplicando (detalhando para você conseguir fazer no lápis e papel):
7.650\cdot 0{,}5687 \approx 4.350{,}56.
Então
A_X \approx 4.350{,}56 + 1.200 = 5.550{,}56.
Portanto o custo anual equivalente do Tipo X é aproximadamente \$5.550{,}56 por ano.

Passo 5

Aplicar a fórmula do custo anual equivalente para o Tipo Y.
Para o Tipo Y:
  • P_0 = 12.900
  • C = 900
  • S = 2.000
  • n=4
  • \left(A/P,\,0{,}09,\,4\right)\approx 0{,}30861
  • \left(A/F,\,0{,}09,\,4\right)\approx 0{,}21870
Calculando:
A_Y = 12.900\cdot 0{,}30861 + 900 - 2.000\cdot 0{,}21870.
Detalhando as multiplicações:
12.900\cdot 0{,}30861 \approx 3.981{,}03,
2.000\cdot 0{,}21870 \approx 437{,}40.
Então
A_Y \approx 3.981{,}03 + 900 - 437{,}40 = 4.443{,}63.
Portanto o custo anual equivalente do Tipo Y é aproximadamente \$4.443{,}63 por ano.

Passo 6

Comparação e interpretação (como fazer isso na prova):
Temos os custos anuais aproximados:
A_X \approx 5.550{,}56\quad\text{e}\quad A_Y \approx 4.443{,}63.
Comparando numericamente:
A_Y < A_X.
Isto significa que, apesar do custo de aquisição maior do Tipo Y, a combinação de menor custo operacional anual, vida útil maior e o valor recuperado faz com que o custo anual equivalente do Tipo Y seja menor. Portanto, do ponto de vista econômico (menor custo anual), o equipamento a ser escolhido é o Tipo Y.

Resposta

Tipo Y

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