Uma fábrica considera dois equipamentos para tratamento de resíduos gerados em seu processo de produçāo. O equipamento selecionado deverá ser reposto continuamente ao final de sua vida útil e os custos de investimento e as receitas associadas a cada método são apresentados na tabela a seguir. A TMA da empresa é de 10 \% a.a.
a) (1,5) Sendo os métodos são mutuamente exclusivos, analise ambas as alternativas com base no VAUE e determine qual deles deve ser selecionado.
b) (0,5) Se fosse analisado pelo método do Valor Presente Líquido, qual procedimento deveria ser realizado ao iniciar a análise. Explique
Equipamento A Equipamento B
Custo inicial $100.000 $200.000
Vida útil 4 7
Valor Residual 10.000 20.000
Manutenção anual $15.000 $5.000

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede\n
  • Taxa mínima de atratividade (TMA): \;i=10\% ao ano.\n
  • Dados do Equipamento A:
    • Custo inicial: \; \$100.000
    • Vida útil: \; n=4 anos
    • Valor residual ao fim da vida: \; \$10.000
    • Manutenção anual: \; \$15.000 (pagos no fim de cada ano, série uniforme)
  • Dados do Equipamento B:
    • Custo inicial: \; \$200.000
    • Vida útil: \; n=7 anos
    • Valor residual ao fim da vida: \; \$20.000
    • Manutenção anual: \; \$5.000 (serie uniforme)
O enunciado pede:\n
(a) Sendo os métodos mutuamente exclusivos, analisar ambas as alternativas com base no VAUE (Valor Anual Uniforme Equivalente) e decidir qual escolher. \n
(b) Se a análise fosse pelo Valor Presente Líquido (VPL), que procedimento deve ser feito no início da análise? Explicar.

Passo 2

O que é o VAUE e as fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática)\n
  • Ideia: quando alternativas têm vidas diferentes, transforma-se todo o fluxo de cada alternativa em um valor anual equivalente (uma anuidade) e compara-se essas anuidades. Ganha a alternativa com menor custo anual equivalente (ou maior valor anual equivalente se fossem receitas). Aqui temos custos, então escolhe-se o menor VAUE (mais próximo de zero, menos negativo).\n
  • Para transformar fluxos em valor anual usamos dois fatores padrões:
    • fator de valor presente de uma anuidade:
    \left(\dfrac{P}{A}\right)_{i,n}=\dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i}onde \;i é a taxa por período e \;n o número de períodos. Esse fator dá o valor presente P de uma série anual A.
    • fator de recuperação de capital (converte PV em anuidade):
    \left(\dfrac{A}{P}\right)_{i,n}=\dfrac{i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}que converte um valor presente P em uma anuidade A.\n
  • Procedimento prático que usarei (passo a passo para cada equipamento):
    1. Calcular o valor presente PV do ciclo (tempo 0) somando: custo inicial (negativo), PV da manutenção (negativo) e PV do valor residual (positivo).
    2. Converter esse PV em um Valor Anual Equivalente usando \left(\dfrac{A}{P}\right)_{i,n}.
    3. Comparar os VAUEs: aquele com menor VAUE (menor custo anual) é o preferido.

Passo 3

Cálculo passo a passo para o Equipamento A\n
  • Dados: \;i=0,10, \;n=4, custo inicial \;C_0=\$100.000, manutenção anual \;M=\$15.000, valor residual \;R=\$10.000.\n
  1. Calcular (1+i)^{n} e (1+i)^{-n}:
(1+i)^{4}=(1{,}10)^{4}=1{,}4641,\qquad (1+i)^{-4}=0{,}683013.
  1. Fator \left(\dfrac{P}{A}\right)_{0,10,4}:
\left(\dfrac{P}{A}\right)_{0,10,4}=\dfrac{1-(1+i)^{-4}}{i}=\dfrac{1-0{,}683013}{0{,}10}=3{,}16987.
  1. PV da série de manutenção (valor presente no instante 0):
PV_{m} = M\cdot\left(\dfrac{P}{A}\right)_{0,10,4}=15.000\cdot3{,}16987=\$47.548{,}05.
  1. PV do valor residual:
PV_{R}=\dfrac{R}{(1+i)^{4}}=10.000\cdot0{,}683013=\$6.830{,}13.
  1. PV total do ciclo (soma algébrica, lembrando sinais):
PV_{A} = -C_0 - PV_{m} + PV_{R} = -100.000 - 47.548{,}05 + 6.830{,}13 = -140.717{,}92.
  1. Fator \left(\dfrac{A}{P}\right)_{0,10,4} (para transformar esse PV em anuidade):
\left(\dfrac{A}{P}\right)_{0,10,4}=\dfrac{0{,}10\cdot1{,}4641}{1{,}4641-1}=0{,}31547.
  1. Valor Anual Equivalente (VAUE) do Equipamento A:
VAUE_{A}=PV_{A}\cdot\left(\dfrac{A}{P}\right)_{0,10,4}=-140.717{,}92\cdot0{,}31547\approx -\$44.392{,}87\\ \text{por ano}.

Passo 4

Cálculo passo a passo para o Equipamento B\n
  • Dados: \;i=0,10, \;n=7, custo inicial \;C_0=\$200.000, manutenção anual \;M=\$5.000, valor residual \;R=\$20.000.\n
  1. Calcular (1+i)^{n} e (1+i)^{-n}:
(1+i)^{7}=(1{,}10)^{7}=1{,}9487171,\qquad (1+i)^{-7}=0{,}513158.
  1. Fator \left(\dfrac{P}{A}\right)_{0,10,7}:
\left(\dfrac{P}{A}\right)_{0,10,7}=\dfrac{1-(1+i)^{-7}}{i}=\dfrac{1-0{,}513158}{0{,}10}=4{,}868417.
  1. PV da série de manutenção:
PV_{m} = M\cdot\left(\dfrac{P}{A}\right)_{0,10,7}=5.000\cdot4{,}868417=\$24.342{,}09.
  1. PV do valor residual:
PV_{R}=\dfrac{R}{(1+i)^{7}}=20.000\cdot0{,}513158=\$10.263{,}16.
  1. PV total do ciclo:
PV_{B} = -C_0 - PV_{m} + PV_{R} = -200.000 - 24.342{,}09 + 10.263{,}16 = -214.078{,}93.
  1. Fator \left(\dfrac{A}{P}\right)_{0,10,7}:
\left(\dfrac{A}{P}\right)_{0,10,7}=\dfrac{0{,}10\cdot1{,}9487171}{1{,}9487171-1}=0{,}20546.
  1. Valor Anual Equivalente (VAUE) do Equipamento B:
VAUE_{B}=PV_{B}\cdot\left(\dfrac{A}{P}\right)_{0,10,7}=-214.078{,}93\cdot0{,}20546\approx -\$43.985{,}58\\ \text{por ano}.

Passo 5

Comparação e conclusão (parte a)\n
  • Temos:
    • \;VAUE_{A}\approx -\$44.392{,}87/ano
    • \;VAUE_{B}\approx -\$43.985{,}58/ano\n
      Como se trata de custos anuais equivalentes, escolhe-se o equipamento com o menor custo anual (valor menos negativo). Portanto o Equipamento B é a melhor escolha (leva a um custo anual ligeiramente menor, cerca de \$407,29 por ano a menos que o A).\n
      Palavras de incentivo: a diferença é pequena, mas com a VAUE podemos tomar essa decisão racional mesmo com vidas diferentes — ótimo trabalho de interpretação!

Passo 6

Resposta à parte (b): o que fazer se for usar VPL (explicação e fórmula)\n
  • Problema: o VPL de alternativas com vidas diferentes não é diretamente comparável se cada VPL for calculado apenas para a vida própria da alternativa.\n
  • Procedimento que deve ser realizado no início da análise:
    1. Igualar os horizontes de análise das alternativas. Duas abordagens comuns:
      • Escolher um horizonte comum como o mínimo múltiplo comum das vidas (MMC, LCM) e replicar cada alternativa até esse horizonte; ou
      • Considerar repetições indefinidas (substituição contínua) e calcular o Valor Presente de uma série infinita de ciclos idênticos.
    2. Se optar pela repetição indefinida (substituição contínua), existe uma fórmula prática: calcular primeiro o PV do ciclo único (como fizemos nos Passos 3 e 4) e então obter o PV da série infinita por soma de progressão geométrica:
    PV_{\infty} = PV_{\text{ciclo}}\cdot\biggl(1 + (1+i)^{-n} + (1+i)^{-2n} + \cdots\biggr) = \dfrac{PV_{\text{ciclo}}}{1-(1+i)^{-n}}.
    • Alternativamente, trabalhar com VAUE (como fizemos) é uma forma prática e equivalente, porque converter PV do ciclo em anuidade evita ter que expandir horizontes e facilita a comparação.\n
  • Em uma frase: antes de calcular VPL compare ou repita os projetos até um mesmo horizonte (LCM) ou use o PV da substituição infinita; sem isso a comparação de VPLs é inválida.

Resposta

Equipamento B (VAUE \approx -\$43.985{,}58/ano, contra -\$44.392{,}87/ano do A).
Ao usar VPL: igualar os horizontes de análise (replicar projetos até o MMC das vidas ou usar substituição contínua e calcular o PV da série infinita, usando \;PV_{\infty}=\dfrac{PV_{\text{ciclo}}}{1-(1+i)^{-n}}).

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