Uma fábrica considera dois equipamentos para tratamento de resíduos gerados em seu processo de produçāo. O equipamento selecionado deverá ser reposto continuamente ao final de sua vida útil e os custos de investimento e as receitas associadas a cada método são apresentados na tabela a seguir. A TMA da empresa é de
a.a.
a)
Sendo os métodos são mutuamente exclusivos, analise ambas as alternativas com base no VAUE e determine qual deles deve ser selecionado.
b)
Se fosse analisado pelo método do Valor Presente Líquido, qual procedimento deveria ser realizado ao iniciar a análise. Explique
Equipamento A
Equipamento B
Custo inicial
$100.000
$200.000
Vida útil
4
7
Valor Residual
10.000
20.000
Manutenção anual
$15.000
$5.000
a)
b)
| Equipamento A | Equipamento B | |
| Custo inicial | $100.000 | $200.000 |
| Vida útil | 4 | 7 |
| Valor Residual | 10.000 | 20.000 |
| Manutenção anual | $15.000 | $5.000 |
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede\n
- Taxa mínima de atratividade (TMA):
ao ano.\n - Dados do Equipamento A:
- Custo inicial:
- Vida útil:
anos - Valor residual ao fim da vida:
- Manutenção anual:
(pagos no fim de cada ano, série uniforme)
- Custo inicial:
- Dados do Equipamento B:
- Custo inicial:
- Vida útil:
anos - Valor residual ao fim da vida:
- Manutenção anual:
(serie uniforme)
- Custo inicial:
O enunciado pede:\n
(a) Sendo os métodos mutuamente exclusivos, analisar ambas as alternativas com base no VAUE (Valor Anual Uniforme Equivalente) e decidir qual escolher. \n
(b) Se a análise fosse pelo Valor Presente Líquido (VPL), que procedimento deve ser feito no início da análise? Explicar.
(a) Sendo os métodos mutuamente exclusivos, analisar ambas as alternativas com base no VAUE (Valor Anual Uniforme Equivalente) e decidir qual escolher. \n
(b) Se a análise fosse pelo Valor Presente Líquido (VPL), que procedimento deve ser feito no início da análise? Explicar.
Passo 2
O que é o VAUE e as fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática)\n
- Ideia: quando alternativas têm vidas diferentes, transforma-se todo o fluxo de cada alternativa em um valor anual equivalente (uma anuidade) e compara-se essas anuidades. Ganha a alternativa com menor custo anual equivalente (ou maior valor anual equivalente se fossem receitas). Aqui temos custos, então escolhe-se o menor VAUE (mais próximo de zero, menos negativo).\n
- Para transformar fluxos em valor anual usamos dois fatores padrões:
- fator de valor presente de uma anuidade:
onde é a taxa por período e o número de períodos. Esse fator dá o valor presente de uma série anual . - fator de recuperação de capital (converte PV em anuidade):
que converte um valor presente em uma anuidade .\n - Procedimento prático que usarei (passo a passo para cada equipamento):
- Calcular o valor presente
do ciclo (tempo 0) somando: custo inicial (negativo), PV da manutenção (negativo) e PV do valor residual (positivo). - Converter esse
em um Valor Anual Equivalente usando . - Comparar os VAUEs: aquele com menor VAUE (menor custo anual) é o preferido.
- Calcular o valor presente
Passo 3
Cálculo passo a passo para o Equipamento A\n
- Dados:
, , custo inicial , manutenção anual , valor residual .\n
- Calcular
e :
- Fator
:
- PV da série de manutenção (valor presente no instante 0):
- PV do valor residual:
- PV total do ciclo (soma algébrica, lembrando sinais):
- Fator
(para transformar esse PV em anuidade):
- Valor Anual Equivalente (VAUE) do Equipamento A:
Passo 4
Cálculo passo a passo para o Equipamento B\n
- Dados:
, , custo inicial , manutenção anual , valor residual .\n
- Calcular
e :
- Fator
:
- PV da série de manutenção:
- PV do valor residual:
- PV total do ciclo:
- Fator
:
- Valor Anual Equivalente (VAUE) do Equipamento B:
Passo 5
Comparação e conclusão (parte a)\n
- Temos:
-
/ano -
/ano\n
Como se trata de custos anuais equivalentes, escolhe-se o equipamento com o menor custo anual (valor menos negativo). Portanto o Equipamento B é a melhor escolha (leva a um custo anual ligeiramente menor, cerca depor ano a menos que o A).\n
Palavras de incentivo: a diferença é pequena, mas com a VAUE podemos tomar essa decisão racional mesmo com vidas diferentes — ótimo trabalho de interpretação!
-
Passo 6
Resposta à parte (b): o que fazer se for usar VPL (explicação e fórmula)\n
- Problema: o VPL de alternativas com vidas diferentes não é diretamente comparável se cada VPL for calculado apenas para a vida própria da alternativa.\n
- Procedimento que deve ser realizado no início da análise:
- Igualar os horizontes de análise das alternativas. Duas abordagens comuns:
- Escolher um horizonte comum como o mínimo múltiplo comum das vidas (MMC, LCM) e replicar cada alternativa até esse horizonte; ou
- Considerar repetições indefinidas (substituição contínua) e calcular o Valor Presente de uma série infinita de ciclos idênticos.
- Se optar pela repetição indefinida (substituição contínua), existe uma fórmula prática: calcular primeiro o
do ciclo único (como fizemos nos Passos 3 e 4) e então obter o PV da série infinita por soma de progressão geométrica:
- Alternativamente, trabalhar com VAUE (como fizemos) é uma forma prática e equivalente, porque converter PV do ciclo em anuidade evita ter que expandir horizontes e facilita a comparação.\n
- Igualar os horizontes de análise das alternativas. Duas abordagens comuns:
- Em uma frase: antes de calcular VPL compare ou repita os projetos até um mesmo horizonte (LCM) ou use o PV da substituição infinita; sem isso a comparação de VPLs é inválida.
Resposta
Equipamento B (VAUE
/ano, contra
/ano do A).
Ao usar VPL: igualar os horizontes de análise (replicar projetos até o MMC das vidas ou usar substituição contínua e calcular o PV da série infinita, usando ).
Ao usar VPL: igualar os horizontes de análise (replicar projetos até o MMC das vidas ou usar substituição contínua e calcular o PV da série infinita, usando