Dois produtores de areia e brita competem via preço, com custo marginal
.
(a) Mostre que o equilíbrio de Bertrand implica
.
(b) Explique a lógica da subcotação sucessiva.
(a) Mostre que o equilíbrio de Bertrand implica
(b) Explique a lógica da subcotação sucessiva.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Há dois produtores que vendem o mesmo bem homogêneo (areia/brita) e competem apenas por preço.
- O custo marginal de produzir a unidade é
(constante). - Pressupostos importantes que vamos usar (implícitos no enunciado clássico): se um vendedor anuncia preço mais baixo que o outro, captura toda a demanda do mercado a esse preço; se os preços são iguais, a demanda é dividida entre os dois; a demanda de mercado a um preço
é denotada por .
As perguntas:
(a) Mostrar que o equilíbrio de Bertrand em preços implica.
(b) Explicar, em palavras, a lógica da subcotação sucessiva (por que preços acima desão inviáveis e o preço tende a ).
Passo 2
Definições e notação — preciso explicitar a função de lucro e as hipóteses para trabalhar de forma clara:
- Denoto por
o preço escolhido pela firma e por o preço do rival ( , ). -
é o custo marginal por unidade (constante). -
é a demanda total do mercado quando o preço cobrado é . Assumo e que é contínua em preços relevantes. - Regra de atribuição da demanda:
- Se
, a firma vende toda a demanda . - Se
, cada firma vende metade: . - Se
, a firma não vende nada.
Agora escrevo a função lucro da firmaem função dos preços.
- Se
Passo 3
Função lucro da firma
Explicando:
multiplicado pela quantidade que a firma vende.]
Passo 4
Mostro que não pode haver equilíbrio com preço de ambos maior do que
. Suponha, por absurdo, que ambas as firmas fixem o mesmo preço
. Então o lucro de cada uma é
pois
e
. Agora considere a desviação de uma firma que reduza o preço em uma quantidade muito pequena
, escolhendo
com
suficientemente pequeno tal que
. Ao fazer isso a firma captura toda a demanda e seu lucro passa a aproximadamente
Como
é contínua, para
pequeno
e
. Assim
, que é cerca do dobro de
. Logo existe
pequeno tal que
Isto significa que, se ambos cobrassem
, um desvio para um preço ligeiramente menor é lucrativo — portanto
não pode ser equilíbrio de Nash.
Passo 5
Mostro que não pode haver equilíbrio com preço de ambos menor que
. Se ambas as firmas escolherem
, cada unidade vendida dá lucro negativo
, logo o lucro total de cada firma é negativo. Mas então qualquer firma poderia aumentar o próprio preço até
(ou mais) e obter lucro maior: cobrando
ela obteria lucro zero (se os preços forem iguais, metade da demanda a preço
dá lucro unitário
), o que é preferível a lucro negativo. Portanto preços
não podem ser equilíbrio, pois há desvio lucrativo para
(ou para qualquer preço
que resulte em lucro
).
Passo 6
Concluo que o único candidato restante é
. Verifico que
é, de facto, um equilíbrio de Nash (no sentido de que nenhum jogador tem desvio estritamente lucrativo):
- Se o rival cobra
, e eu mantenho , meu lucro é zero (metade da demanda vezes se empatar). - Se eu tentar cobrar
, serei o mais caro e então não vendo nada, lucro zero — não ganho mais do que antes. - Se eu tentar cobrar
, venderei algo mas com prejuízo por unidade , então meu lucro será negativo — pior do que zero.
Portanto nenhum desvio estritamente melhora a minha situação quando o rival cobra. Assim é um equilíbrio de Nash em preços.
Passo 7
Intuição e a lógica da subcotação sucessiva (resposta à pergunta (b)), em linguagem simples:
- Imagine os dois vendendo a um preço comum
. Cada um está ganhando lucro positivo, mas somente sobre metade da demanda. Um deles percebe: se eu baixar o preço só um pouquinho (sempre mantendo ), eu fico com toda a demanda e o meu lucro sobe bastante — é um ganho imediato. Então é racional baixar um pouco o preço para capturar o mercado. - O rival, vendo isso, tem o mesmo incentivo e pode rebaixar o preço por sua vez. Assim ocorre uma “subcotação sucessiva”: repetidas pequenas quedas de preço enquanto ainda existir margem positiva
. - Esse processo só termina quando a margem dispara para zero, ou seja, quando o preço chega a
. Em não vale a pena subcotar porque qualquer preço abaixo de gera prejuízo; e aumentar acima de dá zero vendas (se o rival ficar em ). Portanto não há incentivo a desviar, e o jogo para em . - Em palavras fáceis: qualquer preço acima do custo marginal pode ser “roubado” por um concorrente com margem positiva; preços continuam a cair até que não sobre margem para subcotação — e isso ocorre em
.
Passo 8
Observações finais úteis para a prova (curtas, mas conceituais):
- As hipóteses essenciais para esse resultado são: produto homogêneo, possibilidade de oferecer preço arbitrariamente próximo do rival (preços contínuos), demanda vai toda para o menor preço e não há restrições de capacidade. Se alguma hipótese falhar (diferenciação de produto, capacidade limitada, custo fixo grande, clientes com lealdade, preços discretos), o equilíbrio muda e
pode deixar de ser o resultado. - Para mostrar formalmente no exame, basta escrever a função lucro (como fiz), e então argumentar por contradição que
e não podem ser equilíbrio, sobrando apenas .
Resposta
(a)
(b) Porque qualquer preço pode ser subcotado por um rival por uma pequena quantidade mantendo margem positiva, o que aumenta o lucro ao capturar mais demanda; esse processo de subcotação continua até que a margem seja zero, ou seja, até
, onde subcotar implicaria prejuízo.
(b) Porque qualquer preço