Dois produtores de areia e brita competem via preço, com custo marginal c.
(a) Mostre que o equilíbrio de Bertrand implica p=c.
(b) Explique a lógica da subcotação sucessiva.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Há dois produtores que vendem o mesmo bem homogêneo (areia/brita) e competem apenas por preço.
  • O custo marginal de produzir a unidade é c (constante).
  • Pressupostos importantes que vamos usar (implícitos no enunciado clássico): se um vendedor anuncia preço mais baixo que o outro, captura toda a demanda do mercado a esse preço; se os preços são iguais, a demanda é dividida entre os dois; a demanda de mercado a um preço p é denotada por D(p)>0.
    As perguntas:
    (a) Mostrar que o equilíbrio de Bertrand em preços implica p=c.
    (b) Explicar, em palavras, a lógica da subcotação sucessiva (por que preços acima de c são inviáveis e o preço tende a c).

Passo 2

Definições e notação — preciso explicitar a função de lucro e as hipóteses para trabalhar de forma clara:
  • Denoto por p_i o preço escolhido pela firma i e por p_j o preço do rival ( i,j\in\{1,2\}, i\neq j).
  • c é o custo marginal por unidade (constante).
  • D(p) é a demanda total do mercado quando o preço cobrado é p. Assumo D(p)>0 e que D é contínua em preços relevantes.
  • Regra de atribuição da demanda:
    • Se p_i<p_j, a firma i vende toda a demanda D(p_i).
    • Se p_i=p_j, cada firma vende metade: D(p_i)/2.
    • Se p_i>p_j, a firma i não vende nada.
      Agora escrevo a função lucro da firma i em função dos preços.

Passo 3

Função lucro da firma i\). A receita por unidade é \(p_i\), o custo por unidade é \(c\), logo o lucro por unidade é \(p_i-c\). A quantidade vendida depende da comparação entre \(p_i\) e \(p_j\). Portanto: \[\pi_i(p_i,p_j)= \begin{cases} \bigl(p_i-c\bigr)\,D(p_i), & \text{se } p_i<p_j,\\[6pt] \frac{1}{2}\bigl(p_i-c\bigr)\,D(p_i), & \text{se } p_i=p_j,\\[6pt] 0, & \text{se } p_i>p_j. \end{cases}
Explicando: \pi_i\] é o lucro total; em cada ramo usei o preço líquido por unidade \(\bigl(p_i-c\bigr) multiplicado pela quantidade que a firma vende.]

Passo 4

Mostro que não pode haver equilíbrio com preço de ambos maior do que c. Suponha, por absurdo, que ambas as firmas fixem o mesmo preço p>c. Então o lucro de cada uma é
\pi_i = \frac{1}{2}\bigl(p-c\bigr)D(p) > 0,
pois p-c>0 e D(p)>0. Agora considere a desviação de uma firma que reduza o preço em uma quantidade muito pequena \varepsilon>0, escolhendo p' = p-\varepsilon com \varepsilon suficientemente pequeno tal que p'>c. Ao fazer isso a firma captura toda a demanda e seu lucro passa a aproximadamente
\pi_i' = \bigl(p-\varepsilon-c\bigr)D(p-\varepsilon).
Como D é contínua, para \varepsilon pequeno D(p-\varepsilon)\approx D(p) e \bigl(p-\varepsilon-c\bigr)\approx (p-c). Assim \pi_i'\approx (p-c)D(p), que é cerca do dobro de \frac{1}{2}(p-c)D(p). Logo existe \varepsilon pequeno tal que
\pi_i' > \frac{1}{2}(p-c)D(p)=\pi_i.
Isto significa que, se ambos cobrassem p>c, um desvio para um preço ligeiramente menor é lucrativo — portanto p>c não pode ser equilíbrio de Nash.

Passo 5

Mostro que não pode haver equilíbrio com preço de ambos menor que c. Se ambas as firmas escolherem p<c, cada unidade vendida dá lucro negativo (p-c)<0, logo o lucro total de cada firma é negativo. Mas então qualquer firma poderia aumentar o próprio preço até p=c (ou mais) e obter lucro maior: cobrando p=c ela obteria lucro zero (se os preços forem iguais, metade da demanda a preço \,c dá lucro unitário c-c=0), o que é preferível a lucro negativo. Portanto preços p<c não podem ser equilíbrio, pois há desvio lucrativo para p=c (ou para qualquer preço \ge c que resulte em lucro \ge0).

Passo 6

Concluo que o único candidato restante é p=c. Verifico que p=c é, de facto, um equilíbrio de Nash (no sentido de que nenhum jogador tem desvio estritamente lucrativo):
  • Se o rival cobra c, e eu mantenho p_i=c, meu lucro é zero (metade da demanda vezes c-c=0 se empatar).
  • Se eu tentar cobrar p_i>c, serei o mais caro e então não vendo nada, lucro zero — não ganho mais do que antes.
  • Se eu tentar cobrar p_i<c, venderei algo mas com prejuízo por unidade (p_i-c)<0, então meu lucro será negativo — pior do que zero.
    Portanto nenhum desvio estritamente melhora a minha situação quando o rival cobra c. Assim (p_1,p_2)=(c,c) é um equilíbrio de Nash em preços.

Passo 7

Intuição e a lógica da subcotação sucessiva (resposta à pergunta (b)), em linguagem simples:
  • Imagine os dois vendendo a um preço comum p>c. Cada um está ganhando lucro positivo, mas somente sobre metade da demanda. Um deles percebe: se eu baixar o preço só um pouquinho (sempre mantendo >c), eu fico com toda a demanda e o meu lucro sobe bastante — é um ganho imediato. Então é racional baixar um pouco o preço para capturar o mercado.
  • O rival, vendo isso, tem o mesmo incentivo e pode rebaixar o preço por sua vez. Assim ocorre uma “subcotação sucessiva”: repetidas pequenas quedas de preço enquanto ainda existir margem positiva (p-c>0).
  • Esse processo só termina quando a margem dispara para zero, ou seja, quando o preço chega a c. Em p=c não vale a pena subcotar porque qualquer preço abaixo de c gera prejuízo; e aumentar acima de c dá zero vendas (se o rival ficar em c). Portanto não há incentivo a desviar, e o jogo para em p=c.
  • Em palavras fáceis: qualquer preço acima do custo marginal pode ser “roubado” por um concorrente com margem positiva; preços continuam a cair até que não sobre margem para subcotação — e isso ocorre em p=c.

Passo 8

Observações finais úteis para a prova (curtas, mas conceituais):
  • As hipóteses essenciais para esse resultado são: produto homogêneo, possibilidade de oferecer preço arbitrariamente próximo do rival (preços contínuos), demanda vai toda para o menor preço e não há restrições de capacidade. Se alguma hipótese falhar (diferenciação de produto, capacidade limitada, custo fixo grande, clientes com lealdade, preços discretos), o equilíbrio muda e p=c pode deixar de ser o resultado.
  • Para mostrar formalmente no exame, basta escrever a função lucro (como fiz), e então argumentar por contradição que p>c e p<c não podem ser equilíbrio, sobrando apenas p=c.

Resposta

(a) p=c
(b) Porque qualquer preço p>c pode ser subcotado por um rival por uma pequena quantidade mantendo margem positiva, o que aumenta o lucro ao capturar mais demanda; esse processo de subcotação continua até que a margem seja zero, ou seja, até p=c, onde subcotar implicaria prejuízo.

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