Duas empresas de consultoria técnica competem com demandas:
Q_{1}=50-p_{1}+0.5 p_{2}, \quad Q_{2}=50-p_{2}+0.3 p_{1}
(a) Determine p_{1} e p_{2}^{*}.
(b) Analise elasticidades cruzadas.

Passo 1

O enunciado fornece as funções demanda:
Q_{1}=50-p_{1}+0{,}5\,p_{2},\qquad Q_{2}=50-p_{2}+0{,}3\,p_{1}.
O que se pede:
(a) determinar os preços de equilíbrio p_{1}^{*} e p_{2}^{*};
(b) analisar as elasticidades cruzadas entre preços e quantidades.
Observação importante (informação não dada no enunciado): não foram fornecidos custos das empresas. Para poder maximizar lucros e obter um equilíbrio, vou assumir custos marginais iguais a zero (ou seja, custo unitário nulo). Essa é uma suposição padrão quando o enunciado não diz nada sobre custos; se os custos fossem diferentes, as respostas mudariam.

Passo 2

Como cada firma escolhe preço e vende a quantidade dada pela sua função demanda, a receita (e, com custo marginal zero, o lucro) da firma i é:
\pi_i = p_i Q_i.
Explicando devagar: p_i é o preço que a firma cobra e Q_i é a quantidade demandada a esse preço; multiplicando dá a receita total. Com custo marginal zero, a receita é igual ao lucro, então a firma maximiza \pi_i escolhendo p_i.
Vou escrever explicitamente as funções de lucro usando as demandas dadas.
Para a firma 1:
\pi_1(p_1,p_2)=p_1\bigl(50-p_1+0{,}5 p_2\bigr).
Para a firma 2:
\pi_2(p_1,p_2)=p_2\bigl(50-p_2+0{,}3 p_1\bigr).

Passo 3

Para encontrar a melhor resposta da firma 1 (isto é, p_1 que maximiza \pi_1 dado p_2), calculemos a condição de primeira ordem (derivada parcial de \pi_1 em relação a p_1 igual a zero).
Calcule a derivada:
\frac{\partial \pi_1}{\partial p_1} = \frac{\partial}{\partial p_1}\bigl[p_1(50-p_1+0{,}5 p_2)\bigr] = 50 - 2p_1 + 0{,}5 p_2.
A condição de máximo (FOC) é
50 - 2p_1 + 0{,}5 p_2 = 0.
Isolando p_1,
2p_1 = 50 + 0{,}5 p_2 \quad\Rightarrow\quad p_1 = 25 + 0{,}25 p_2.
Esta é a função reação (best response) da firma 1: dado p_2, a firma 1 escolhe p_1=25+0{,}25p_2.

Passo 4

Façamos o mesmo para a firma 2: derivada parcial de \pi_2 em relação a p_2.
Calcule a derivada:
\frac{\partial \pi_2}{\partial p_2} = \frac{\partial}{\partial p_2}\bigl[p_2(50-p_2+0{,}3 p_1)\bigr] = 50 - 2p_2 + 0{,}3 p_1.
A condição de máximo (FOC) é
50 - 2p_2 + 0{,}3 p_1 = 0.
Isolando p_2,
2p_2 = 50 + 0{,}3 p_1 \quad\Rightarrow\quad p_2 = 25 + 0{,}15 p_1.
Esta é a função reação da firma 2: p_2=25+0{,}15p_1.

Passo 5

O equilíbrio de preços (equilíbrio de Nash em preços) é o par (p_1^{*},p_2^{*})\) tal que cada preço é a melhor resposta ao outro. Logo resolvemos o sistema de equações das reações simultaneamente: \[\begin{cases} p_1 = 25 + 0{,}25 p_2,\\[4pt] p_2 = 25 + 0{,}15 p_1. \end{cases}
Substituindo a segunda na primeira:
p_1 = 25 + 0{,}25\bigl(25 + 0{,}15 p_1\bigr) = 25 + 6{,}25 + 0{,}0375 p_1 = 31{,}25 + 0{,}0375 p_1.
Passando o termo com p_1\] para o lado esquerdo: \[p_1 - 0{,}0375 p_1 = 31{,}25 \quad\Rightarrow\quad 0{,}9625\,p_1 = 31{,}25.\] Logo \[p_1^{*}=\frac{31{,}25}{0{,}9625}.\] Para simplificar em fração exata, multiplica-se numerador e denominador por \(4000:
p_1^{*}=\frac{125000}{3850}=\frac{2500}{77}\approx 32{,}4675.
Agora obtemos p_2^{*} usando a reação da firma 2:
p_2^{*}=25+0{,}15 p_1^{*} =25+0{,}15\cdot\frac{2500}{77} =25+\frac{375}{77} =\frac{1925+375}{77}=\frac{2300}{77}\approx 29{,}8701.]

Passo 6

Calculemos as quantidades de equilíbrio (por clareza) para usar nas elasticidades:
Q_1^{*}=50-p_1^{*}+0{,}5 p_2^{*} =50-\frac{2500}{77}+0{,}5\cdot\frac{2300}{77}.
Fazendo as somas sobre o denominador 77:
Q_1^{*}=\frac{3850-2500+1150}{77}=\frac{2500}{77}\approx 32{,}4675.
Observe uma identidade interessante aqui: Q_1^{*}=p_1^{*}=\dfrac{2500}{77}. Isso decorre das condições de primeira ordem (na solução com custo zero). De modo análogo,
Q_2^{*}=50-p_2^{*}+0{,}3 p_1^{*} = \frac{3850-2300+750}{77}=\frac{2300}{77}\approx 29{,}8701,
logo Q_2^{*}=p_2^{*}=\dfrac{2300}{77}.

Passo 7

Agora definimos e calculamos as elasticidades cruzadas. A elasticidade-preço cruzada da demanda de 1 em relação ao preço de 2 é:
\varepsilon_{1,2} = \frac{\partial Q_1}{\partial p_2}\cdot\frac{p_2^{*}}{Q_1^{*}}.
Aqui \dfrac{\partial Q_1}{\partial p_2}=0{,}5 (coeficiente na função demanda). Substituindo os valores de equilíbrio (os fatores 77 se cancelam),
\varepsilon_{1,2} =0{,}5\cdot\frac{\dfrac{2300}{77}}{\dfrac{2500}{77}} =0{,}5\cdot\frac{2300}{2500} =0{,}5\cdot\frac{23}{25} =\frac{23}{50}=0{,}46.
Analogamente, a elasticidade da demanda de 2 em relação a p_1 é
\varepsilon_{2,1} = \frac{\partial Q_2}{\partial p_1}\cdot\frac{p_1^{*}}{Q_2^{*}} =0{,}3\cdot\frac{\dfrac{2500}{77}}{\dfrac{2300}{77}} =0{,}3\cdot\frac{2500}{2300} =\frac{3}{10}\cdot\frac{25}{23} =\frac{75}{230}=\frac{15}{46}\approx 0{,}3261.
Interpretação econômica (passo didático): o sinal positivo de \varepsilon_{1,2} e \varepsilon_{2,1} indica que as duas firmas vendem bens substitutos: um aumento no preço da firma 2 aumenta a demanda pela firma 1 (e vice‑versa). Os valores (0{,}46 e 0{,}3261) mostram que esses efeitos cruzados são positivos mas não muito grandes — as respostas são relativamente inelásticas.

Passo 8

Resumo final e observações úteis para a prova (mastigado):
  • Método usado: escrever lucro como p_i Q_i, derivar em relação a p_i (FOC) para achar função reação, resolver sistema linear para o equilíbrio — técnica padrão para competição em preços com produtos diferenciados.
  • Cuidado em provas: sempre declare a hipótese sobre custos se o enunciado não disser nada (aqui supusemos custo marginal nulo). Se houver custo c, as condições de FOC mudam para 50-2p_1+0{,}5p_2= -c' ou, mais corretamente, (p_1-c)' aparecerá; então os números mudam, mas o procedimento é o mesmo.
  • Para elasticidades: lembrar a fórmula \varepsilon_{i,j}=(\partial Q_i/\partial p_j)\cdot(p_j/Q_i); usar a derivada parcial (coeficiente da demanda) quando a demanda é linear como aqui.

Resposta

(a) p_{1}^{*}=\dfrac{2500}{77}\approx 32{,}4675,\quad p_{2}^{*}=\dfrac{2300}{77}\approx 29{,}8701
(b) \varepsilon_{1,2}=0{,}46 (positiva: bens substitutos), \varepsilon_{2,1}=\dfrac{15}{46}\approx 0{,}3261 (positiva: bens substitutos)

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