Duas empresas de consultoria técnica competem com demandas:
(a) Determine
e
.
(b) Analise elasticidades cruzadas.
(b) Analise elasticidades cruzadas.
Passo 1
O enunciado fornece as funções demanda:
O que se pede:
(a) determinar os preços de equilíbrio e
;
(b) analisar as elasticidades cruzadas entre preços e quantidades.
(a) determinar os preços de equilíbrio
(b) analisar as elasticidades cruzadas entre preços e quantidades.
Observação importante (informação não dada no enunciado): não foram fornecidos custos das empresas. Para poder maximizar lucros e obter um equilíbrio, vou assumir custos marginais iguais a zero (ou seja, custo unitário nulo). Essa é uma suposição padrão quando o enunciado não diz nada sobre custos; se os custos fossem diferentes, as respostas mudariam.
Passo 2
Como cada firma escolhe preço e vende a quantidade dada pela sua função demanda, a receita (e, com custo marginal zero, o lucro) da firma
é:
Explicando devagar:
é o preço que a firma cobra e
é a quantidade demandada a esse preço; multiplicando dá a receita total. Com custo marginal zero, a receita é igual ao lucro, então a firma maximiza
escolhendo
.
Vou escrever explicitamente as funções de lucro usando as demandas dadas.
Para a firma 1:
Para a firma 2:
Passo 3
Para encontrar a melhor resposta da firma 1 (isto é,
que maximiza
dado
), calculemos a condição de primeira ordem (derivada parcial de
em relação a
igual a zero).
Calcule a derivada:
A condição de máximo (FOC) é
Isolando
,
Esta é a função reação (best response) da firma 1: dado
, a firma 1 escolhe
.
Passo 4
Façamos o mesmo para a firma 2: derivada parcial de
em relação a
.
Calcule a derivada:
A condição de máximo (FOC) é
Isolando
,
Esta é a função reação da firma 2:
.
Passo 5
O equilíbrio de preços (equilíbrio de Nash em preços) é o par
Substituindo a segunda na primeira:
Passando o termo com
:
Agora obtemos
usando a reação da firma 2:
Passo 6
Calculemos as quantidades de equilíbrio (por clareza) para usar nas elasticidades:
Fazendo as somas sobre o denominador
:
Observe uma identidade interessante aqui:
. Isso decorre das condições de primeira ordem (na solução com custo zero). De modo análogo,
logo
.
Passo 7
Agora definimos e calculamos as elasticidades cruzadas. A elasticidade-preço cruzada da demanda de
em relação ao preço de
é:
Aqui
(coeficiente na função demanda). Substituindo os valores de equilíbrio (os fatores
se cancelam),
Analogamente, a elasticidade da demanda de
em relação a
é
Interpretação econômica (passo didático): o sinal positivo de
e
indica que as duas firmas vendem bens substitutos: um aumento no preço da firma 2 aumenta a demanda pela firma 1 (e vice‑versa). Os valores (0{,}46 e 0{,}3261) mostram que esses efeitos cruzados são positivos mas não muito grandes — as respostas são relativamente inelásticas.
Passo 8
Resumo final e observações úteis para a prova (mastigado):
- Método usado: escrever lucro como
, derivar em relação a (FOC) para achar função reação, resolver sistema linear para o equilíbrio — técnica padrão para competição em preços com produtos diferenciados. - Cuidado em provas: sempre declare a hipótese sobre custos se o enunciado não disser nada (aqui supusemos custo marginal nulo). Se houver custo
, as condições de FOC mudam para ou, mais corretamente, aparecerá; então os números mudam, mas o procedimento é o mesmo. - Para elasticidades: lembrar a fórmula
; usar a derivada parcial (coeficiente da demanda) quando a demanda é linear como aqui.
Resposta
(a)
(b)
(positiva: bens substitutos),
(positiva: bens substitutos)