Duas firmas oferecem manutenção industrial diferenciada. Consumidores estão em [0,1] e U_{i}(x)=v-p_{i}-t d_{i}(x).
(a) Determine o consumidor indiferente.
(b) Encontre as demandas.
(c) Calcule o equilíbrio de preços.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, e uma suposição natural que vamos usar (não foi especificado no enunciado, então escolho a hipótese padrão).
Dados do enunciado:
  • Há duas firmas que oferecem um serviço de manutenção diferenciado.
  • Os consumidores estão localizados ao longo do segmento [0,1] (um consumidor por cada ponto, massa total igual a 1, distribuição uniforme).
  • A utilidade de um consumidor de localização x\in[0,1] ao comprar da firma i é
U_{i}(x)=v-p_{i}-t\,d_{i}(x),
onde:
  • v é o valor do serviço para o consumidor (mesmo para ambos),
  • p_{i} é o preço cobrado pela firma i,
  • t>0 é o “custo de transporte” (sensibilidade ao diferencial de preferência/distância),
  • d_{i}(x) é a distância entre o consumidor x e a posição da firma i.
Suposição (padrão e necessária para resolver): as duas firmas estão localizadas nas extremidades do segmento: firma 1 em 0 e firma 2 em 1. Assim
d_{1}(x)=x,\qquad d_{2}(x)=1-x.
O enunciado pede:
(a) determinar o consumidor indiferente entre as duas firmas;
(b) encontrar as demandas (participações de mercado) das firmas em função dos preços;
(c) calcular o equilíbrio de preços (Nash em preços), supondo custo marginal zero.
Não começo a resolver ainda; estes são os dados e a suposição que usarei.

Passo 2

Encontrar o consumidor indiferente: vamos achar o ponto x^{*} tal que o consumidor em x^{*} tem a mesma utilidade comprando de 1 ou de 2, ou seja U_{1}(x^{*})=U_{2}(x^{*}).
Escrevendo as utilidades com as distâncias:
U_{1}(x)=v-p_{1}-t x,\qquad U_{2}(x)=v-p_{2}-t(1-x).
Igualando:
v-p_{1}-t x^{*}=v-p_{2}-t(1-x^{*}).
Agora simplifico passo a passo (o v cancela):
-p_{1}-t x^{*}=-p_{2}-t+t x^{*}.
Agrupo os termos contendo x^{*} num lado:
-t x^{*}-t x^{*}=-p_{2}+p_{1}-t,
ou melhor organizando antes de multiplicar:
-p_{1}+p_{2}+t=2t x^{*}.
Logo
x^{*}=\frac{p_{2}-p_{1}+t}{2t}.
Interpretação rápida: x^{*} é a posição do consumidor marginal; consumidores com x\le x^{*} preferem a firma 1 (mais próxima/mais barata) e os com x\ge x^{*} preferem a firma 2.

Passo 3

Encontrar as demandas (participações de mercado).
Com consumidores uniformemente distribuídos em [0,1], a demanda da firma 1 é a massa de consumidores que escolhem a firma 1, isto é
q_{1}=x^{*}=\frac{p_{2}-p_{1}+t}{2t}.
A demanda da firma 2 é
q_{2}=1-x^{*}=\frac{p_{1}-p_{2}+t}{2t}.
Comentários didáticos:
  • Note que se p_{1}=p_{2} então q_{1}=q_{2}=1/2: divisão simétrica.
  • Se p_{1}<p_{2} então q_{1}>1/2: preço mais baixo atrai mais clientes.
  • As expressões estão válidas enquanto 0\le q_{i}\le1; aqui assumimos preços tais que o consumidor indiferente caia dentro de [0,1] (ou seja, não consideramos os cantos extremos; em modelo completo deve-se checar condições sobre p_{1},p_{2},v para garantir compra por todos).

Passo 4

Montar a função lucro de cada firma e derivar a melhor resposta.
Assumo custo marginal zero. O lucro da firma 1 é preço vezes quantidade:
\pi_{1}=p_{1}q_{1}=p_{1}\left(\frac{p_{2}-p_{1}+t}{2t}\right).
Expando para facilitar a derivação:
\pi_{1}=\frac{p_{1}}{2}+\frac{p_{1}p_{2}}{2t}-\frac{p_{1}^{2}}{2t}.
Agora maximizamos \pi_{1} em relação a p_{1}, tratando p_{2} como dado. Derivando:
\frac{\partial \pi_{1}}{\partial p_{1}}=\frac{1}{2}+\frac{p_{2}}{2t}-\frac{2p_{1}}{2t}=\frac{1}{2}+\frac{p_{2}}{2t}-\frac{p_{1}}{t}.
Igualando a zero (condição de primeiro ordem para máximo interior):
\frac{1}{2}+\frac{p_{2}}{2t}-\frac{p_{1}}{t}=0.
Multiplicando por 2t:
t+p_{2}-2p_{1}=0.
Assim a melhor resposta (BR) da firma 1 é
\text{BR}_{1}(p_{2})\;:\qquad p_{1}=\frac{p_{2}+t}{2}.
Por simetria, a melhor resposta da firma 2 é
\text{BR}_{2}(p_{1})\;:\qquad p_{2}=\frac{p_{1}+t}{2}.

Passo 5

Achar o equilíbrio de preços (interseção das melhores respostas).
Procuramos um par (p_{1}^{*},p_{2}^{*}) tal que
p_{1}^{*}=\frac{p_{2}^{*}+t}{2},\qquad p_{2}^{*}=\frac{p_{1}^{*}+t}{2}.
Pela simetria é natural procurar uma solução simétrica p_{1}^{*}=p_{2}^{*}=p^{*}. Substituindo numa das equações:
p^{*}=\frac{p^{*}+t}{2}.
Multiplicando por 2:
2p^{*}=p^{*}+t\quad\Rightarrow\quad p^{*}=t.
Portanto o equilíbrio simétrico em preços é
p_{1}^{*}=p_{2}^{*}=t.
Verificações e interpretações:
  • Com p_{1}=p_{2}=t temos q_{1}=q_{2}=1/2 e lucro de cada firma \pi^{*}=p^{*}q^{*}=t\cdot\frac{1}{2}=\frac{t}{2}.
  • É necessário que o valor v seja suficientemente grande para que os consumidores comprem (isto é, que v-p^{*}-t\cdot\text{(distância máxima)}\ge 0âá para pelo menos alguns consumidores). Tipicamente assume-se v grande o bastante para que o mercado não esteja vazio; caso contrário haveria cantos onde a demanda seria zero. Para a solução interior que encontramos, é suficiente supor v tal que todos consumidores obtenham utilidade não negativa ao comprar do seu fornecedor mais próximo — em prática assumimos v suficientemente grande.

Resposta

\displaystyle x^{*}=\frac{p_{2}-p_{1}+t}{2t}\n
\displaystyle q_{1}=\frac{p_{2}-p_{1}+t}{2t},\qquad q_{2}=\frac{p_{1}-p_{2}+t}{2t}\n
\displaystyle p_{1}^{*}=p_{2}^{*}=t

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