Duas firmas oferecem manutenção industrial diferenciada. Consumidores estão em
e
.
(a) Determine o consumidor indiferente.
(b) Encontre as demandas.
(c) Calcule o equilíbrio de preços.
(a) Determine o consumidor indiferente.
(b) Encontre as demandas.
(c) Calcule o equilíbrio de preços.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, e uma suposição natural que vamos usar (não foi especificado no enunciado, então escolho a hipótese padrão).
Dados do enunciado:
- Há duas firmas que oferecem um serviço de manutenção diferenciado.
- Os consumidores estão localizados ao longo do segmento
(um consumidor por cada ponto, massa total igual a 1, distribuição uniforme). - A utilidade de um consumidor de localização
ao comprar da firma é
onde:
-
é o valor do serviço para o consumidor (mesmo para ambos), -
é o preço cobrado pela firma , -
é o “custo de transporte” (sensibilidade ao diferencial de preferência/distância), -
é a distância entre o consumidor e a posição da firma .
Suposição (padrão e necessária para resolver): as duas firmas estão localizadas nas extremidades do segmento: firma
em
e firma
em
. Assim
O enunciado pede:
(a) determinar o consumidor indiferente entre as duas firmas;
(b) encontrar as demandas (participações de mercado) das firmas em função dos preços;
(c) calcular o equilíbrio de preços (Nash em preços), supondo custo marginal zero.
(a) determinar o consumidor indiferente entre as duas firmas;
(b) encontrar as demandas (participações de mercado) das firmas em função dos preços;
(c) calcular o equilíbrio de preços (Nash em preços), supondo custo marginal zero.
Não começo a resolver ainda; estes são os dados e a suposição que usarei.
Passo 2
Encontrar o consumidor indiferente: vamos achar o ponto
tal que o consumidor em
tem a mesma utilidade comprando de 1 ou de 2, ou seja
.
Escrevendo as utilidades com as distâncias:
Igualando:
Agora simplifico passo a passo (o
cancela):
Agrupo os termos contendo
num lado:
ou melhor organizando antes de multiplicar:
Logo
Interpretação rápida:
é a posição do consumidor marginal; consumidores com
preferem a firma 1 (mais próxima/mais barata) e os com
preferem a firma 2.
Passo 3
Encontrar as demandas (participações de mercado).
Com consumidores uniformemente distribuídos em
, a demanda da firma 1 é a massa de consumidores que escolhem a firma 1, isto é
A demanda da firma 2 é
Comentários didáticos:
- Note que se
então : divisão simétrica. - Se
então : preço mais baixo atrai mais clientes. - As expressões estão válidas enquanto
; aqui assumimos preços tais que o consumidor indiferente caia dentro de (ou seja, não consideramos os cantos extremos; em modelo completo deve-se checar condições sobre para garantir compra por todos).
Passo 4
Montar a função lucro de cada firma e derivar a melhor resposta.
Assumo custo marginal zero. O lucro da firma
é preço vezes quantidade:
Expando para facilitar a derivação:
Agora maximizamos
em relação a
, tratando
como dado. Derivando:
Igualando a zero (condição de primeiro ordem para máximo interior):
Multiplicando por
:
Assim a melhor resposta (BR) da firma 1 é
Por simetria, a melhor resposta da firma 2 é
Passo 5
Achar o equilíbrio de preços (interseção das melhores respostas).
Procuramos um par
tal que
Pela simetria é natural procurar uma solução simétrica
. Substituindo numa das equações:
Multiplicando por 2:
Portanto o equilíbrio simétrico em preços é
Verificações e interpretações:
- Com
temos e lucro de cada firma . - É necessário que o valor
seja suficientemente grande para que os consumidores comprem (isto é, que para pelo menos alguns consumidores). Tipicamente assume-se grande o bastante para que o mercado não esteja vazio; caso contrário haveria cantos onde a demanda seria zero. Para a solução interior que encontramos, é suficiente supor tal que todos consumidores obtenham utilidade não negativa ao comprar do seu fornecedor mais próximo — em prática assumimos suficientemente grande.