Dois produtos
e
são manufaturados em uma determinada fábrica. Se
é o custo total de produção para um dia de 8 horas de trabalho, então
, onde
máquinas são usadas para produzir
e
máquinas para
. Se 5 máquinas estão funcionando durante as 8 horas de trabalho, determine quantas destas máquinas devem produzir
e quantas
, para que o custo total seja mínimo.
Passo 1
O enunciado pede para minimizar o custo total de produção em um dia de 8 horas, dado por C = x² + 14y, sujeita à restrição de que x + y = 5 máquinas estão em operação. O conteúdo envolve otimização de função de uma única variável com restrição linear, e vamos precisar usar substituição para eliminar uma das variáveis.
Passo 2
Da restrição x + y = 5, temos y = 5 - x. Substituindo em C = x² + 14y, obtemos uma função de x apenas.
Escrevendo em bloco a função resultante:
Escrevendo em bloco a função resultante:
Trata-se de uma parábola que abre para cima (coeficiente de x² positivo).
Passo 3
O vértice dessa parábola dá o mínimo teórico em x =
, mas nosso domínio é x ∈ [0,5] (não podemos usar mais de 5 máquinas). Como 7 ≥ 5, o mínimo ocorre em um dos extremos do intervalo.
Passo 4
Calculamos os valores nos extremos:
- Para x = 0: C(0) = 0² - 14·0 + 70 = 70.
- Para x = 5: C(5) = 5² - 14·5 + 70 = 25.
Portanto, o custo mínimo acontece em x = 5 máquinas para A.
Resposta
5 máquinas devem produzir A e 0 máquinas devem produzir B.