Dois produtos A e B são manufaturados em uma determinada fábrica. Se C é o custo total de produção para um dia de 8 horas de trabalho, então C=x^2+14 y, onde x máquinas são usadas para produzir A e y máquinas para B. Se 5 máquinas estão funcionando durante as 8 horas de trabalho, determine quantas destas máquinas devem produzir A e quantas B, para que o custo total seja mínimo.

Passo 1

O enunciado pede para minimizar o custo total de produção em um dia de 8 horas, dado por C = x² + 14y, sujeita à restrição de que x + y = 5 máquinas estão em operação. O conteúdo envolve otimização de função de uma única variável com restrição linear, e vamos precisar usar substituição para eliminar uma das variáveis.

Passo 2

Da restrição x + y = 5, temos y = 5 - x. Substituindo em C = x² + 14y, obtemos uma função de x apenas.
Escrevendo em bloco a função resultante:
C(x) = x^2 + 14(5 - x) = x^2 - 14x + 70
Trata-se de uma parábola que abre para cima (coeficiente de x² positivo).

Passo 3

O vértice dessa parábola dá o mínimo teórico em x = --142cdot1 = 7, mas nosso domínio é x ∈ [0,5] (não podemos usar mais de 5 máquinas). Como 7 ≥ 5, o mínimo ocorre em um dos extremos do intervalo.

Passo 4

Calculamos os valores nos extremos:
  • Para x = 0: C(0) = 0² - 14·0 + 70 = 70.
  • Para x = 5: C(5) = 5² - 14·5 + 70 = 25.
    Portanto, o custo mínimo acontece em x = 5 máquinas para A.

Resposta

5 máquinas devem produzir A e 0 máquinas devem produzir B.

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