1. sumk=1^+infty(-1)^k-1 76^k-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série infinita sumk=1^infty(-1)^k-1dfrac76^k-1. Isso é conteúdo de soma de série geométrica infinita e vamos precisar usar a fórmula da soma quando o módulo da razão for menor que 1.

Passo 2

Para identificar os parâmetros da série, note que o termo geral é (-1)^k-1dfrac76^k-1. No caso, o primeiro termo (quando k=1) é
a = (-1)^0dfrac76^0 = 7 e a razão r é o quociente entre dois termos consecutivos. Por exemplo,
r = (-1)^1,7/6^1(-1)^0,7/6^0 = -7/67 = -16

Passo 3

Como |r| = 1/6 < 1, a série converge e podemos usar a fórmula da soma da série geométrica infinita:
sumn=0^inftyar^n = a1-r Aqui nossa soma começa em k=1 mas tem exatamente a forma a r^k-1, ou seja, é sumn=0^infty a r^n. Então aplicamos:
sumk=1^infty(-1)^k-176^k-1 = 71 - (-1/6)

Passo 4

Agora basta simplificar o denominador:
1 - l(-tfrac16r) = 1 + tfrac16 = tfrac76, portanto a soma é
77/6 = 6

Resposta

6

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