Dois projeteis serão disparados de modo a movimentarem-se em parábolas co-planares e em sentido horizontal oposto. Suas trajetórias são tais que ocorrerá uma colisão elástica em pleno vôo. Ambos têm a mesma massa. O primeiro projétil A é disparado com um ângulo em relação à horizontal de 55^circ e V0=80 m / s. O segundo projétil B parte a 500 m de distância horizontal do primeiro, com ângulo de 150^circ e v0=130 m / s, exatamente 0,05 segundos depois. Determine, considerando a origem de onde parte o projétil A e tempo t=0 quando ele é disparado:
o ponto e o instante da colisão;

Passo 1

Beleza, o que temos aqui é um exercício de lançamento oblíquo (parabólico) em duas dimensões, envolvendo dois projéteis A e B que vão “se encontrar” no ar. A gente vai usar:
  • As equações paramétricas de um movimento parabólico
  • Funções trigonométricas (cos e sen) para decompor a velocidade inicial
  • A aceleração da gravidade (g = 9,8 m/s²)
  • Um sistema de equações para igualar as posições de A e B em x e em y

Passo 2

Escrevendo as equações de posição em função do tempo t (em segundos), tomando x=0 e y=0 no ponto de disparo de A, e sabendo que B só parte em t = 0,05 s com origem em x = 500 m:
Projétil A (lançado em t=0 com v₀ = 80 m/s e θ₁ = 55°):

Projétil B (lançado em t=0,05 s com v₀ = 130 m/s e θ₂ = 150°, orig. em x=500 m):
Defina τ = t – 0,05 (válido só para t ≥ 0,05). Então

Passo 3

Agora impomos colisão:
  1. 80cos55^circ,t ;=; 500 + 130cos150^circ,(t-0,05)
  2. 80cdot0,5736,t = 500 + 130(-0,8660),(t-0,05)
Primeiro a equação em x:
45,888,t = 500 -112,58,(t-0,05) Longrightarrow 45,888,t = 505,63 -112,58,t
Substituindo cos 55°≈0,5736 e cos 150°≈–0,8660:
158,47,t = 505,63 Longrightarrow t approx 3,19 s

Passo 4

Com esse t, calculamos x e y do ponto de colisão.
x col = y approx 80cdot0,8192cdot3,19 ;-;4,9cdot(3,19)^2 approx 65,54cdot3,19 -4,9cdot10,18 approx 209,1 -49,9 approx 159,2 m .
y col = .
Usando sen 55°≈0,8192:

Resposta

A colisão ocorre aproximadamente em t ≃ 3,19 s, no ponto de coordenadas
x ≃ 146,3 m e y ≃ 159,2 m.

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