Dois projeteis serão disparados de modo a movimentarem-se em parábolas co-planares e em sentido horizontal oposto. Suas trajetórias são tais que ocorrerá uma colisão elástica em pleno vôo. Ambos têm a mesma massa. O primeiro projétil A é disparado com um ângulo em relação à horizontal de
e
. O segundo projétil B parte a 500 m de distância horizontal do primeiro, com ângulo de
e
, exatamente 0,05 segundos depois. Determine, considerando a origem de onde parte o projétil A e tempo
quando ele é disparado:
o ponto e o instante da colisão;
o ponto e o instante da colisão;
Passo 1
Beleza, o que temos aqui é um exercício de lançamento oblíquo (parabólico) em duas dimensões, envolvendo dois projéteis A e B que vão “se encontrar” no ar. A gente vai usar:
- As equações paramétricas de um movimento parabólico
- Funções trigonométricas (cos e sen) para decompor a velocidade inicial
- A aceleração da gravidade (g = 9,8 m/s²)
- Um sistema de equações para igualar as posições de A e B em x e em y
Passo 2
Escrevendo as equações de posição em função do tempo t (em segundos), tomando x=0 e y=0 no ponto de disparo de A, e sabendo que B só parte em t = 0,05 s com origem em x = 500 m:
Projétil A (lançado em t=0 com v₀ = 80 m/s e θ₁ = 55°):
Projétil B (lançado em t=0,05 s com v₀ = 130 m/s e θ₂ = 150°, orig. em x=500 m):
Defina τ = t – 0,05 (válido só para t ≥ 0,05). Então
Defina τ = t – 0,05 (válido só para t ≥ 0,05). Então
Passo 3
Agora impomos colisão:
Primeiro a equação em x:
Substituindo cos 55°≈0,5736 e cos 150°≈–0,8660:
Passo 4
Com esse t, calculamos x e y do ponto de colisão.
x col =
.
y col =
.
Usando sen 55°≈0,8192:
Usando sen 55°≈0,8192:
Resposta
A colisão ocorre aproximadamente em t ≃ 3,19 s, no ponto de coordenadas
x ≃ 146,3 m e y ≃ 159,2 m.
x ≃ 146,3 m e y ≃ 159,2 m.