Dois projeteis serão disparados de modo a movimentarem-se em parábolas co-planares e em sentido horizontal oposto. Suas trajetórias são tais que ocorrerá uma colisão elástica em pleno vôo. Ambos têm a mesma massa. O primeiro projétil A é disparado com um ângulo em relação à horizontal de
e
. O segundo projétil B parte a 500 m de distância horizontal do primeiro, com ângulo de
e
, exatamente 0,05 segundos depois. Determine, considerando a origem de onde parte o projétil A e tempo
quando ele é disparado:
as trajetórias dos projeteis após a colisão, sabendo que o projétil A sai da colisão com um ângulo de
.
as trajetórias dos projeteis após a colisão, sabendo que o projétil A sai da colisão com um ângulo de
Passo 1
Então, irmão, o problema é este: dois projéteis A e B se movem em trajetórias parabólicas numa mesma placa (plano vertical) e colidem elasticamente no ar. A sai do ponto zero em t=0 com ângulo de 55° e velocidade inicial V₀A=80 m/s; B sai de x=500 m com atraso de 0,05 s, ângulo de 150° e V₀B=130 m/s. Depois de baterem, A sai com ângulo de 127°.
Conteúdo: movimento de projétil + conservação de momento linear e energia (colisão elástica).
Para resolver vamos precisar:
Conteúdo: movimento de projétil + conservação de momento linear e energia (colisão elástica).
Para resolver vamos precisar:
- Equações paramétricas de A e B antes da colisão,
- determinar tempo e ponto de colisão (t_c, x_c, y_c),
- calcular velocidades de A e B imediatamente antes da colisão,
- usar conservação de momento e de energia para achar magnitude da velocidade de A após colisão e a de B,
- montar as novas equações de movimento (trajetórias pós-colisão).
Passo 2
Equações antes da colisão (g = 9,8 m/s²):
Para A (t ≥ 0):
Para A (t ≥ 0):
Para B (t ≥ 0, mas só existe de t ≥ 0,05 s). Defina τ = t – 0,05.
Passo 3
Encontre o instante t_c e o ponto (x_c,y_c) resolvendo simultaneamente
x_A(t_c)=x_B(t_c)
e
y_A(t_c)=y_B(t_c).
Chamamos esse valor comum de t_c; e então
x_A(t_c)=x_B(t_c)
e
y_A(t_c)=y_B(t_c).
Chamamos esse valor comum de t_c; e então
Passo 4
Velocidades imediatamente antes da colisão:
Para A em t_c:
Para A em t_c:
Para B em t_c (τ_c = t_c–0,05):
Passo 5
Colisão elástica e massas iguais ⇒ conservam-se momento e energia:
Sabemos que
faz ângulo 127°, então escreva
.
Defina esse versor. Da conservação de momento
.
Aí, impondo conservação de energia, acha-se V_A’ resolvendo
Defina
Aí, impondo conservação de energia, acha-se V_A’ resolvendo
que dá um V_A’ positivo. Em seguida obtém-se
.
Resposta
Trajetórias para t ≥ t_c (assumindo g=9,8 m/s²):
Para A, definindo Δt = t–t_c:
Para A, definindo Δt = t–t_c:
Para B, com
vindo do passo anterior:
Essas são as trajetórias após a colisão, expressas em função do tempo absoluto t.