Dois projeteis serão disparados de modo a movimentarem-se em parábolas co-planares e em sentido horizontal oposto. Suas trajetórias são tais que ocorrerá uma colisão elástica em pleno vôo. Ambos têm a mesma massa. O primeiro projétil A é disparado com um ângulo em relação à horizontal de 55^circ e V0=80 m / s. O segundo projétil B parte a 500 m de distância horizontal do primeiro, com ângulo de 150^circ e v0=130 m / s, exatamente 0,05 segundos depois. Determine, considerando a origem de onde parte o projétil A e tempo t=0 quando ele é disparado:
as trajetórias dos projeteis após a colisão, sabendo que o projétil A sai da colisão com um ângulo de 127^circ.

Passo 1

Então, irmão, o problema é este: dois projéteis A e B se movem em trajetórias parabólicas numa mesma placa (plano vertical) e colidem elasticamente no ar. A sai do ponto zero em t=0 com ângulo de 55° e velocidade inicial V₀A=80 m/s; B sai de x=500 m com atraso de 0,05 s, ângulo de 150° e V₀B=130 m/s. Depois de baterem, A sai com ângulo de 127°.
Conteúdo: movimento de projétil + conservação de momento linear e energia (colisão elástica).
Para resolver vamos precisar:
  1. Equações paramétricas de A e B antes da colisão,
  2. determinar tempo e ponto de colisão (t_c, x_c, y_c),
  3. calcular velocidades de A e B imediatamente antes da colisão,
  4. usar conservação de momento e de energia para achar magnitude da velocidade de A após colisão e a de B,
  5. montar as novas equações de movimento (trajetórias pós-colisão).

Passo 2

Equações antes da colisão (g = 9,8 m/s²):
Para A (t ≥ 0):
xA(t) = V0Acos55°;,t, yA(t) = V0Asin55°;,t - tfrac12,g,t^2
Para B (t ≥ 0, mas só existe de t ≥ 0,05 s). Defina τ = t – 0,05.
xB(t) = 500 + V0Bcos150°;tau, yB(t) = V0Bsin150°;tau - tfrac12,g,tau^2

Passo 3

Encontre o instante t_c e o ponto (x_c,y_c) resolvendo simultaneamente
x_A(t_c)=x_B(t_c)
e
y_A(t_c)=y_B(t_c).
Chamamos esse valor comum de t_c; e então
xc = xA(tc), yc = yA(tc)

Passo 4

Velocidades imediatamente antes da colisão:
Para A em t_c:
vec vA^rm pré=l(V0Acos55°,,V0Asin55°-g,tcr) é
Para B em t_c (τ_c = t_c–0,05):
vec vB^rm pré=l(V0Bcos150°,,V0Bsin150°-g,taucr) é

Passo 5

Colisão elástica e massas iguais ⇒ conservam-se momento e energia:
vec vA^rm pré+vec vB^rm pré =vec vA^,'+vec vB^,', éé
|vec vA^rm pré|^2+|vec vB^rm pré|^2 =|vec vA^,'|^2+|vec vB^,'|^2 éé
Sabemos que VA'^2 -l[(vec vA^rm pré+vec vB^rm pré)!cdot!hat u127r],VA' +(vec vA^rm pré!cdot!vec vB^rm pré)=0, faz ângulo 127°, então escreva
.
Defina esse versor. Da conservação de momento éé.
Aí, impondo conservação de energia, acha-se V_A’ resolvendo
éééé
que dá um V_A’ positivo. Em seguida obtém-se .

Resposta

Trajetórias para t ≥ t_c (assumindo g=9,8 m/s²):
Para A, definindo Δt = t–t_c:
boxed xA(t)=xc + VA'cos127°;De
Para B, com boxed xB(t)=xc + VB,x',De vindo do passo anterior:
Essas são as trajetórias após a colisão, expressas em função do tempo absoluto t.

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