Dois prótons em uma molécula estão separados por uma distância r=3,8 \times 10^{-10} m. (a) Determine a força elétrica entre eles. (b) Calcule a força gravitacional entre eles. (c) Compare as duas forças e explique o significado físico do resultado. (d) Suponha que força gravitacional tivesse a mesma intensidade que a força elétrica. Nessa condição determine a razão carga/massa (q / m) necessária para os prótons. (e) Compare o resultado obtido no item (d) com a relação carga massa do próton ( e / m_{p}=9,58 \times 10^{7} \mathrm{C} / \mathrm{kg} ). Discuta o resultado.

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
  • Distância entre os dois prótons: \,r=3,8\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Constantes físicas que usaremos (valores padrões):
  • Carga elementar: \,e=1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
  • Massa do próton: \,m_{p}=1,673\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
  • Constante eletrostática (constante de Coulomb): \,k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}=8,988\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}.
  • Constante gravitacional: \,G=6,674\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}}.
O enunciado pede:
(a) a força elétrica entre os dois prótons;
(b) a força gravitacional entre eles;
(c) comparação entre as duas forças e interpretação física;
(d) se a força gravitacional tivesse a mesma intensidade da força elétrica, qual razão carga/massa (q/m) seria necessária para os prótons;
(e) comparar o resultado do item (d) com \,e/m_{p}=9,58\times10^{7}\\ \mathrm{C/kg} (valor fornecido) e discutir.

Passo 2

Vamos calcular a força elétrica usando a lei de Coulomb. A lei de Coulomb diz que a intensidade da força elétrica entre duas cargas puntiformes é
F_{e}=k\frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}.
Aqui q_{1}=q_{2}=e. Então
F_{e}=k\frac{e^{2}}{r^{2}}.
Dados numéricos que vamos usar (já listados):
e=1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C},\qquad k=8,988\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}},\qquad r=3,8\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Calculemos passo a passo:
e^{2}=(1,602\times10^{-19})^{2}=2,5664\times10^{-38}\\ \mathrm{C^{2}}.
r^{2}=(3,8\times10^{-10})^{2}=14,44\times10^{-20}=1,444\times10^{-19}\\ \mathrm{m^{2}}.
Agora o numerador k\,e^{2}:
k\,e^{2}=(8,988\times10^{9})\times(2,5664\times10^{-38}) =2,3072\times10^{-28}\\ \mathrm{N\,m^{2}}.
Dividindo por r^{2}:
F_{e}=\frac{2,3072\times10^{-28}}{1,444\times10^{-19}} =1,597\times10^{-9}\\ \mathrm{N}.
Direção/físico: como as duas cargas são positivas (prótons), a força é repulsiva (eles se repelem).

Passo 3

Resumindo o item (a):
F_{e}\approx1,60\times10^{-9}\\ \mathrm{N}\quad\text{(repulsiva).}
(Arredondei para três algarismos significativos, mas o cálculo detalhado deu 1,597\times10^{-9}\\ \mathrm{N}.)

Passo 4

Agora a força gravitacional entre os dois prótons pela lei da gravitação universal de Newton:
F_{g}=G\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}.
Aqui m_{1}=m_{2}=m_{p}, então
F_{g}=G\frac{m_{p}^{2}}{r^{2}}.
Calculemos passo a passo:
m_{p}^{2}=(1,673\times10^{-27})^{2}=2,799\times10^{-54}\\ \mathrm{kg^{2}}.
Numerador G\,m_{p}^{2}:
G\,m_{p}^{2}=(6,674\times10^{-11})\times(2,799\times10^{-54}) =1,867\times10^{-64}\\ \mathrm{N\,m^{2}}.
Dividindo por r^{2}=1,444\times10^{-19}\\ \mathrm{m^{2}}:
F_{g}=\frac{1,867\times10^{-64}}{1,444\times10^{-19}} =1,293\times10^{-45}\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Resumindo o item (b):
F_{g}\approx1,29\times10^{-45}\\ \mathrm{N}\quad\text{(atrativa).}

Passo 6

Comparação (item c). Vamos calcular a razão entre as forças para quantificar:
\frac{F_{e}}{F_{g}}=\frac{1,597\times10^{-9}}{1,293\times10^{-45}} \approx1,235\times10^{36}\approx1,24\times10^{36}.
Isso significa que a força elétrica entre dois prótons separados pela distância dada é cerca de 10^{36} vezes maior do que a força gravitacional entre eles. Físico: a interação eletromagnética domina com folga em escala atômica/molecular; a gravidade é totalmente desprezível nesse contexto. É por isso que, quando estudamos átomos e moléculas, costumamos ignorar efeitos gravitacionais — eles são insignificantes comparados às forças elétricas entre cargas.

Passo 7

Item (d): supondo que a força gravitacional tivesse a mesma intensidade que a força elétrica, determino a razão carga/massa q/m necessária para cada próton.
Escrevendo a igualdade (apenas magnitudes):
k\frac{q^{2}}{r^{2}}=G\frac{m^{2}}{r^{2}}.
Os r^{2} cancelam, ficando
k\,q^{2}=G\,m^{2}\quad\Rightarrow\quad\left(\frac{q}{m}\right)^{2}=\frac{G}{k}.
Portanto
\frac{q}{m}=\sqrt{\frac{G}{k}}.
Observe que essa razão é independente da distância r.
Agora o valor numérico:
\frac{q}{m}=\sqrt{\frac{6,674\times10^{-11}}{8,988\times10^{9}}} =\sqrt{7,4269\times10^{-21}} \approx8,62\times10^{-11}\\ \mathrm{C/kg}.

Passo 8

Item (e): comparar com a razão carga/massa real do próton fornecida \,e/m_{p}=9,58\times10^{7}\\ \mathrm{C/kg}.
Calculemos a razão entre o valor real e o valor necessário:
\frac{(e/m_{p})}{(q/m)_{\text{necessário}}} =\frac{9,58\times10^{7}}{8,62\times10^{-11}} \approx1,11\times10^{18}.á
Interpretação: a razão carga/massa real do próton é cerca de 10^{18} vezes maior do que a razão que faria as forças elétrica e gravitacional terem a mesma intensidade. Em outras palavras, as cargas dos prótons são extremamente grandes em relação à sua massa no sentido de gerar forças elétricas muito superiores às gravitacionais. Isso reforça a conclusão do item (c): a gravidade é irrelevante em escala atômica; só em escalas astronomicamente grandes (com muita massa acumulada) a gravidade vence porque ela é sempre atrativa e se soma sempre, enquanto cargas positivas e negativas se cancelam em grande escala.

Passo 9

Breve comentário final para motivar: é normal ficar chocado com números tão enormes (ou tão pequenos) — isso mostra por que em física de átomos usamos a eletrodinâmica e ignoramos gravidade. Você mandou bem pedindo essa questão: entender ordens de grandeza é crucial na prova. Força extra: anote que a razão q/m que igualaria as forças não depende de r — é uma ótima observação para responder perguntas conceituais na prova.

Resposta

(a) F_{e}\approx1,60\times10^{-9}\\ \mathrm{N} (repulsiva).
(b) F_{g}\approx1,29\times10^{-45}\\ \mathrm{N} (atrativa).
(c) F_{e}/F_{g}\approx1,24\times10^{36}. A força elétrica é aproximadamente 10^{36} vezes maior; a gravidade é desprezível em escala atômica.
(d) \dfrac{q}{m}=\sqrt{\dfrac{G}{k}}\approx8,62\times10^{-11}\\ \mathrm{C/kg}.
(e) Comparação: \dfrac{e/m_{p}}{(q/m)_{\text{necessário}}}\approx1,11\times10^{18}á. Ou seja, o valor real e/m_{p}=9,58\times10^{7}\\ \mathrm{C/kg} é cerca de 10^{18} vezes maior que o valor que igualaria as forças; portanto, eletricidade domina totalmente sobre a gravidade entre prótons.

Exercícios relacionados