(a) Mostre que A_{0} \cos (\omega t+\delta) pode ser escrito como A_{s} \cos (\omega t)+A_{c} \cos (\omega t), e determine A_{s} e A_{c} em termos de A_{0} e \delta.(b) Relacione A_{s} e A_{c \text { " com a posição e a }}çã velocidade iniciais de uma partícula descrevendo movimento harmônico simples.

Passo 1

O enunciado dá uma amplitude \,A_{0}\,, uma frequência angular \,\omega\, e uma fase \,\delta\, e pede duas coisas:
  • (a) Mostrar que \,A_{0}\cos(\omega t+\delta)\, pode ser escrita como combinação linear de \cos(\omega t) e \sin(\omega t), e determinar os coeficientes \,A_{c}\, e \,A_{s}\, em termos de \,A_{0}\, e \,\delta.
  • (b) Relacionar esses coeficientes \,A_{c}\, e \,A_{s}\, com a posição inicial e a velocidade inicial de uma partícula em movimento harmônico simples.
Informações relevantes dadas:
  • \,A_{0}\, é a amplitude.
  • \,\omega\, é a frequência angular (constante).
  • \,\delta\, é a fase inicial.
  • A função a manipular é \,A_{0}\cos(\omega t+\delta)\,.

Passo 2

Lembra da identidade trigonométrica básica para soma de ângulos. Vou apresentá-la e explicá-la devagar:
A identidade é
\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.
O que isso diz, em palavras, é que o cosseno da soma de dois ângulos se expressa como combinação do cosseno de cada um e do seno de cada um. Essa é uma fórmula padrão da trigonometria e serve para “abrir” um argumento composto como \omega t+\delta.
Vamos aplicar essa identidade com \alpha=\omega t e \beta=\delta. Não há truque: apenas substituir \alpha e \beta na identidade.

Passo 3

Aplicando a identidade ao término que temos:
\cos(\omega t+\delta)=\cos(\omega t)\cos\delta-\sin(\omega t)\sin\delta.
Multiplicando ambos os lados por \,A_{0}\, obtém-se
A_{0}\cos(\omega t+\delta)=A_{0}\cos\delta\;\cos(\omega t)-A_{0}\sin\delta\;\sin(\omega t).
Agora vamos definir claramente os coeficientes da combinação linear. Defina:
  • \,A_{c}\, como o coeficiente que multiplica \cos(\omega t).
  • \,A_{s}\, como o coeficiente que multiplica \sin(\omega t).
Comparando termo a termo, obtemos
A_{c}=A_{0}\cos\delta, \qquad A_{s}=-A_{0}\sin\delta.
Portanto a decomposição pedida é
A_{0}\cos(\omega t+\delta)=A_{c}\cos(\omega t)+A_{s}\sin(\omega t),
com \,A_{c} e \,A_{s} dados nas expressões acima. Observe que \,A_{s}\, aparece com sinal negativo se você tentar escrever somente com \sin positivo; por isso é importante declarar a convenção (coeficiente de \sin com seu sinal).

Passo 4

Agora faço a ligação com movimento harmônico simples (MHS). A posição de uma partícula em MHS pode ser escrita na forma
x(t)=A_{c}\cos(\omega t)+A_{s}\sin(\omega t),
que é exatamente a forma obtida acima (apenas x(t) substitui A_{0}\cos(\omega t+\delta)). Isso é útil porque com essa forma os parâmetros A_{c} e A_{s} estão ligados diretamente às condições iniciais.
Calcule a posição inicial (em t=0):
x(0)=A_{c}\cos(0)+A_{s}\sin(0)=A_{c}\cdot 1 + A_{s}\cdot 0 = A_{c}.
Logo
A_{c}=x(0).
Agora calcule a velocidade como derivada temporal de x(t). Derivando termo a termo:
v(t)=\dot{x}(t)=\frac{d}{dt}\big(A_{c}\cos(\omega t)+A_{s}\sin(\omega t)\big) =-A_{c}\,\omega\sin(\omega t)+A_{s}\,\omega\cos(\omega t).
Em t=0 obtemos
v(0)=-A_{c}\,\omega\sin(0)+A_{s}\,\omega\cos(0)=0 + A_{s}\,\omega.
Portanto
A_{s}=\frac{v(0)}{\omega}.

Passo 5

Agora reúno as duas expressões (a partir da comparação com \,A_{0}\cos(\omega t+\delta)\, e a partir das condições iniciais):
  • A partir da identidade trigonométrica:
A_{c}=A_{0}\cos\delta, \qquad A_{s}=-A_{0}\sin\delta.
  • A partir das condições iniciais:
A_{c}=x(0), \qquad A_{s}=\frac{v(0)}{\omega}.
Combinando, tem-se relações úteis:
x(0)=A_{0}\cos\delta, \qquad v(0)=-A_{0}\,\omega\sin\delta,
o que é a forma clássica que liga amplitude e fase às condições iniciais. Também pode-se escrever
A_{0}=\sqrt{A_{c}^{2}+A_{s}^{2}}=\sqrt{x(0)^{2}+\bigg(\frac{v(0)}{\omega}\bigg)^{2}},
e a fase satisfaz
\delta=\operatorname{atan2}\!\big(-A_{s},A_{c}\big)=\operatorname{atan2}\!\Big(-\frac{v(0)}{\omega},\,x(0)\Big),
onde \operatorname{atan2} é a função arco-tangente que resolve corretamente o quadrante da fase (essa última é uma dica prática para calcular \delta com sinal e quadrante corretos).

Passo 6

Escolha \,A_{0}=2 e \,\delta=\tfrac{\pi}{6}. Então
A_{c}=A_{0}\cos\delta=2\cos\!\tfrac{\pi}{6}=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3},
A_{s}=-A_{0}\sin\delta=-2\sin\!\tfrac{\pi}{6}=-2\cdot\frac{1}{2}=-1.
Se \omega=3, então as condições iniciais seriam
x(0)=A_{c}=\sqrt{3}, \qquad v(0)=A_{s}\,\omega=(-1)\cdot 3=-3.
Isso exemplifica como usar as fórmulas na prática: A_{c} dá a posição inicial e A_{s} relaciona-se diretamente com a velocidade inicial através de \omega.

Resposta

A_{0}\cos(\omega t+\delta)=A_{c}\cos(\omega t)+A_{s}\sin(\omega t).\n
A_{c}=A_{0}\cos\delta,\qquad A_{s}=-A_{0}\sin\delta.\n
A_{c}=x(0),\qquad A_{s}=\dfrac{v(0)}{\omega}.

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