(a) Mostre que
pode ser escrito como
, e determine
e
em termos de
e
.(b) Relacione
e
velocidade iniciais de uma partícula descrevendo movimento harmônico simples.
Passo 1
O enunciado dá uma amplitude
, uma frequência angular
e uma fase
e pede duas coisas:
- (a) Mostrar que
pode ser escrita como combinação linear de e , e determinar os coeficientes e em termos de e . - (b) Relacionar esses coeficientes
e com a posição inicial e a velocidade inicial de uma partícula em movimento harmônico simples.
Informações relevantes dadas:
-
é a amplitude. -
é a frequência angular (constante). -
é a fase inicial. - A função a manipular é
.
Passo 2
Lembra da identidade trigonométrica básica para soma de ângulos. Vou apresentá-la e explicá-la devagar:
A identidade é
O que isso diz, em palavras, é que o cosseno da soma de dois ângulos se expressa como combinação do cosseno de cada um e do seno de cada um. Essa é uma fórmula padrão da trigonometria e serve para “abrir” um argumento composto como
.
Vamos aplicar essa identidade com
e
. Não há truque: apenas substituir
e
na identidade.
Passo 3
Aplicando a identidade ao término que temos:
Multiplicando ambos os lados por
obtém-se
Agora vamos definir claramente os coeficientes da combinação linear. Defina:
-
como o coeficiente que multiplica . -
como o coeficiente que multiplica .
Comparando termo a termo, obtemos
Portanto a decomposição pedida é
com
e
dados nas expressões acima. Observe que
aparece com sinal negativo se você tentar escrever somente com
positivo; por isso é importante declarar a convenção (coeficiente de
com seu sinal).
Passo 4
Agora faço a ligação com movimento harmônico simples (MHS). A posição de uma partícula em MHS pode ser escrita na forma
que é exatamente a forma obtida acima (apenas
substitui
). Isso é útil porque com essa forma os parâmetros
e
estão ligados diretamente às condições iniciais.
Calcule a posição inicial (em
):
Logo
Agora calcule a velocidade como derivada temporal de
. Derivando termo a termo:
Em
obtemos
Portanto
Passo 5
Agora reúno as duas expressões (a partir da comparação com
e a partir das condições iniciais):
- A partir da identidade trigonométrica:
- A partir das condições iniciais:
Combinando, tem-se relações úteis:
o que é a forma clássica que liga amplitude e fase às condições iniciais. Também pode-se escrever
e a fase satisfaz
onde
é a função arco-tangente que resolve corretamente o quadrante da fase (essa última é uma dica prática para calcular
com sinal e quadrante corretos).
Passo 6
Escolha
e
. Então
Se
, então as condições iniciais seriam
Isso exemplifica como usar as fórmulas na prática:
dá a posição inicial e
relaciona-se diretamente com a velocidade inicial através de
.