Dois ratos disputam uma corrida; vence quem voltar primeiro ao ponto de partida. O rato 1 (
) está pindurado na direção vertical, preso à extremidade inferior de um fio com
de comprimento e massa desprezível. O rato 2 (
) está ao seu lado, sobre uma mesa sem atrito e ligado à extremidade livre de uma mola presa do outro lado, que se encontra em sua posição de equilíbrio e que pode se mover na direção horizontal (eixo
). A constante da mola é
. Os dois ratos são deslocados de
na direção dos
positivos (ponto de partida) e largados livres para oscilar em
.
(a) Qual dos ratos voltará primeiro ao ponto de partida? Justifique sua resposta.
(a) Qual dos ratos voltará primeiro ao ponto de partida? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que tá pegando aqui! Temos dois ratos numa disputa pra ver quem volta primeiro pro ponto de partida. O Rato 1 tá preso num fio e vai se movimentar como um pêndulo. Já o Rato 2 tá sobre uma mesa sem atrito, ligado numa mola que pode se esticar e comprimir. A gente precisa descobrir qual dos dois vai dar a volta de volta mais rápido.
Matéria envolvida: Movimento harmônico simples (pêndulo e mola).
O que vamos precisar: Fórmulas para o período de um pêndulo e de um sistema massa-mola, além dos valores dados no enunciado.
Passo 2
Vamos começar calculando o período do movimento do Rato 1, que está se comportando como um pêndulo.
Fórmula do período do pêndulo:
Onde:
- $ L = 0,5 , m $ (comprimento do fio)
- $ g = 9,8 , m/s^2 $ (aceleração da gravidade)
Passo 3
Substituindo os valores na fórmula do período do pêndulo:
Então, o período do pêndulo do Rato 1 é aproximadamente 1,42 segundos.
Passo 4
Agora, vamos calcular o período do movimento do Rato 2, que está ligado numa mola. Esse é um sistema massa-mola, e a fórmula do período é diferente.
Fórmula do período do sistema massa-mola:
Onde:
- $ m = 0,6 , kg $ (massa do Rato 2)
- $ k = 5,5 , N/m $ (constante da mola)
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula do período do sistema massa-mola:
Então, o período do movimento do Rato 2 é aproximadamente 2,07 segundos.
Passo 6
Agora que temos os períodos de ambos os movimentos, vamos comparar:
- Rato 1 (pêndulo): $ T_1 \approx 1,42 , s $
- Rato 2 (mola): $ T_2 \approx 2,07 , s $
O período representa o tempo que cada rato leva para completar uma oscilação completa, ou seja, ir e voltar ao ponto de partida.
Resposta
Como o Rato 1 tem um período menor (
) comparado ao Rato 2 (
), ele vai voltar primeiro ao ponto de partida.