Qual o erro percentual máximo que se cometeria, na medida do comprimento de um trecho de curva circular, com raio igual a 100,00m, por meio de cordas com comprimento não superior a 10,00m?.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é sobre medir o comprimento de um trecho de uma curva circular usando cordas de no máximo 10 metros, sendo que o raio da curva é de 100 metros. O que precisamos encontrar é o erro percentual máximo nessa medição. Para isso, vamos usar conceitos de geometria de círculos, especificamente envolvendo arcos e cordas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma corda é uma linha reta que conecta dois pontos em uma curva circular. O comprimento da corda está relacionado ao ângulo central que ela subtende. A fórmula que relaciona o comprimento da corda (l), o raio do círculo ® e o ângulo central (θ) é:
Aqui, $ R = 100 $ metros e $ l = 10 $ metros.
Passo 3
Vamos usar essa fórmula para encontrar o ângulo central $ \theta $. Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, para encontrar $ \theta/2 $, vamos usar a função inversa do seno (arcsin):
Multiplicando ambos os lados por 2 para encontrar $ \theta $:
Passo 5
Com o ângulo $ \theta $ conhecido, podemos calcular o comprimento real do arco correspondente a esse ângulo. A fórmula para o comprimento do arco (s) é:
Passo 6
A medição usando a corda foi de 10 metros, e o comprimento real do arco é aproximadamente 10,004 metros. O erro absoluto é a diferença entre esses valores:
Passo 7
Para encontrar o erro percentual, usamos a fórmula:
Resposta
O erro percentual máximo cometido na medida do comprimento do trecho da curva circular é aproximadamente 0,04%.