Qual o erro percentual máximo que se cometeria, na medida do comprimento de um trecho de curva circular, com raio igual a 100,00m, por meio de cordas com comprimento não superior a 10,00m?.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é sobre medir o comprimento de um trecho de uma curva circular usando cordas de no máximo 10 metros, sendo que o raio da curva é de 100 metros. O que precisamos encontrar é o erro percentual máximo nessa medição. Para isso, vamos usar conceitos de geometria de círculos, especificamente envolvendo arcos e cordas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma corda é uma linha reta que conecta dois pontos em uma curva circular. O comprimento da corda está relacionado ao ângulo central que ela subtende. A fórmula que relaciona o comprimento da corda (l), o raio do círculo ® e o ângulo central (θ) é:
l = 2R cdot sin(theta2)
Aqui, $ R = 100 $ metros e $ l = 10 $ metros.

Passo 3

Vamos usar essa fórmula para encontrar o ângulo central $ \theta $. Substituindo os valores:
theta
10 = 2 cdot 100 cdot sin(theta2)
10 = 200 cdot sin(theta2)
sin(theta2) = 10200

Passo 4

Agora, para encontrar $ \theta/2 $, vamos usar a função inversa do seno (arcsin):
theta/2
theta2 = arcsin(0,05)
Multiplicando ambos os lados por 2 para encontrar $ \theta $:
theta2 approx 0,05002 radianos
theta

Passo 5

Com o ângulo $ \theta $ conhecido, podemos calcular o comprimento real do arco correspondente a esse ângulo. A fórmula para o comprimento do arco (s) é:
theta
s = R cdot theta
s = 100 cdot 0,10004

Passo 6

A medição usando a corda foi de 10 metros, e o comprimento real do arco é aproximadamente 10,004 metros. O erro absoluto é a diferença entre esses valores:
Erro absoluto = s - l
Erro absoluto = 10,004 - 10
Erro absoluto approx 0,004 metros

Passo 7

Para encontrar o erro percentual, usamos a fórmula:
Erro percentual = ( Erro absolutos ) times 100%
Erro percentual = ( 0,00410,004 ) times 100%
Erro percentual approx 0,04%

Resposta

O erro percentual máximo cometido na medida do comprimento do trecho da curva circular é aproximadamente 0,04%.

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