Dois relógios sincronizados em S separam-se a velocidades opostas
. Após um tempo
no laboratório, eles se reencontram. Calcule o tempo próprio de cada um e resolva o paradoxo dos gêmeos simplificado.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
- Dados:
- Dois relógios estão inicialmente juntos e sincronizados no referencial do laboratório
. - Eles partem em sentidos opostos com velocidade relativa ao laboratório igual a
. - No referencial do laboratório, entre o instante da separação e o instante em que eles se reencontram decorre um tempo
.
- Dois relógios estão inicialmente juntos e sincronizados no referencial do laboratório
- Perguntas:
- Calcular o tempo próprio (ou tempo marcado por cada relógio) entre separação e reencontro.
- Explicar (resolver) o “paradoxo dos gêmeos” simplificado nesse contexto.
Passo 2
Conceitos e fórmula que vamos usar (explicando tudo passo a passo):
-
O que é tempo próprio?
O tempo própriode um relógio é o tempo medido por esse relógio entre dois acontecimentos que ocorrem exatamente no mesmo ponto do referencial do próprio relógio. Em outras palavras: é o intervalo de tempo experimentado pelo observador que está junto ao relógio. -
O que é tempo coordenado
?
Aquié o tempo medido no laboratório entre os mesmos dois acontecimentos (separação e reencontro), conforme dados pelo enunciado. -
A relação entre tempo próprio e tempo medido em
(dilatação temporal):
A relatividade especial diz que um relógio em movimento em relação a um dado referencial marca menos tempo entre dois eventos do que um relógio em repouso nesse referencial. A fórmula que relaciona o tempo coordenado(no referencial onde o relógio se move) e o tempo próprio (no referencial do relógio) é onde(o fator de Lorentz) é definido por Explicando as variáveis:-
é o tempo próprio (tempo marcado pelo relógio em seu próprio repouso). -
é o tempo medido no referencial onde o relógio se move (aqui é o laboratório, e esse é o do enunciado). -
é a velocidade do relógio relativa ao laboratório. -
é a velocidade da luz.
Essa fórmula pode ser entendida a partir da invariância do intervalo de espaço-tempo; para quem prefere uma intuição prática: movimento faz o relógio “andar mais devagar” segundo quem observa o movimento.
-
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso: aqui
e queremos
para cada relógio. Portanto
Agora calculamos
usando
.
Passo 4
Cálculo de
:
Explanação: substituímos
, então
. A raiz de
é
, daí
.
Passo 5
Agora achamos o tempo próprio de cada relógio usando
:
Em forma decimal:
Interpretação: cada relógio, entre separação e reencontro, terá marcado
do tempo que o laboratório mediu.
Passo 6
Comentário didático sobre o “paradoxo dos gêmeos” simplificado e sua resolução aqui:
- Por que parece paradoxal? Porque “um relógio em movimento atrasa-se” e isso faz pensar: quando dois relógios se reencontram, qual está mais atrasado?
- No nosso caso simplificado há simetria perfeita: os dois relógios fazem o mesmo tipo de trajetória (movem-se com a mesma velocidade em módulos, em sentidos opostos, e passam pelo mesmo tempo coordenado
no laboratório antes de se reencontrarem). Portanto não há preferência de um sobre o outro — ambos passaram pelas mesmas situações físicas (mesma velocidade em módulo e mesma duração no laboratório). Assim ambos acumulam o mesmo tempo próprio. - Conclusão física: não existe contradição — ambos os relógios marcam o mesmo tempo próprio
, e esse valor é menor que por conta da dilatação do tempo. O “paradoxo dos gêmeos” surge apenas quando há uma asimetria (por exemplo, um gêmeo acelera e muda de trajetória para voltar), situação que não ocorre no enunciado simplificado.
Passo 7
Pequeno exemplo numérico para fixar a ideia: se
anos medidos no laboratório, então cada relógio marca
Ou seja, ambos marcam 8 anos quando se reencontram.
Resposta
Tempo próprio de cada um:
Resolução do paradoxo simplificado: Ambos os relógios têm trajetórias simétricas e portanto marcam o mesmo tempo próprio ; não há contradição porque não existe assimetria (aceleração diferenciada) entre eles.
Resolução do paradoxo simplificado: Ambos os relógios têm trajetórias simétricas e portanto marcam o mesmo tempo próprio