Dois relógios sincronizados em S separam-se a velocidades opostas v=0.6 c. Após um tempo T no laboratório, eles se reencontram. Calcule o tempo próprio de cada um e resolva o paradoxo dos gêmeos simplificado.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Dados:
    • Dois relógios estão inicialmente juntos e sincronizados no referencial do laboratório S.
    • Eles partem em sentidos opostos com velocidade relativa ao laboratório igual a \,v=0{,}6\,c.
    • No referencial do laboratório, entre o instante da separação e o instante em que eles se reencontram decorre um tempo \,T.
  • Perguntas:
    1. Calcular o tempo próprio (ou tempo marcado por cada relógio) entre separação e reencontro.
    2. Explicar (resolver) o “paradoxo dos gêmeos” simplificado nesse contexto.

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (explicando tudo passo a passo):
  • O que é tempo próprio?
    O tempo próprio \tau de um relógio é o tempo medido por esse relógio entre dois acontecimentos que ocorrem exatamente no mesmo ponto do referencial do próprio relógio. Em outras palavras: é o intervalo de tempo experimentado pelo observador que está junto ao relógio.
  • O que é tempo coordenado T?
    Aqui T é o tempo medido no laboratório S entre os mesmos dois acontecimentos (separação e reencontro), conforme dados pelo enunciado.
  • A relação entre tempo próprio e tempo medido em S (dilatação temporal):
    A relatividade especial diz que um relógio em movimento em relação a um dado referencial marca menos tempo entre dois eventos do que um relógio em repouso nesse referencial. A fórmula que relaciona o tempo coordenado \Delta t (no referencial onde o relógio se move) e o tempo próprio \Delta \tau (no referencial do relógio) é
    \Delta \tau = \frac{\Delta t}{\gamma},
    onde \gamma (o fator de Lorentz) é definido por
    \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
    Explicando as variáveis:
    • \Delta \tau é o tempo próprio (tempo marcado pelo relógio em seu próprio repouso).
    • \Delta t é o tempo medido no referencial onde o relógio se move (aqui é o laboratório, e esse \Delta t é o T do enunciado).
    • v é a velocidade do relógio relativa ao laboratório.
    • c é a velocidade da luz.
      Essa fórmula pode ser entendida a partir da invariância do intervalo de espaço-tempo; para quem prefere uma intuição prática: movimento faz o relógio “andar mais devagar” segundo quem observa o movimento.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: aqui \Delta t = T e queremos \Delta \tau para cada relógio. Portanto
\Delta \tau = \frac{T}{\gamma}.
Agora calculamos \gamma usando \,v=0{,}6\,c.

Passo 4

Cálculo de \gamma:
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{1-(0{,}6)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-0{,}36}}=\frac{1}{\sqrt{0{,}64}}=\frac{1}{0{,}8}=\frac{5}{4}.
Explanação: substituímos v/c=0{,}6, então v^{2}/c^{2}=0{,}36. A raiz de 0{,}64 é 0{,}8, daí \gamma=1/0{,}8=1{,}25=\tfrac{5}{4}.

Passo 5

Agora achamos o tempo próprio de cada relógio usando \Delta \tau = T/\gamma:
\Delta \tau = \frac{T}{\gamma} = \frac{T}{5/4} = \frac{4}{5}\,T.
Em forma decimal:
\Delta \tau = 0{,}8\,T.
Interpretação: cada relógio, entre separação e reencontro, terá marcado 80\% do tempo que o laboratório mediu.

Passo 6

Comentário didático sobre o “paradoxo dos gêmeos” simplificado e sua resolução aqui:
  • Por que parece paradoxal? Porque “um relógio em movimento atrasa-se” e isso faz pensar: quando dois relógios se reencontram, qual está mais atrasado?
  • No nosso caso simplificado há simetria perfeita: os dois relógios fazem o mesmo tipo de trajetória (movem-se com a mesma velocidade em módulos, em sentidos opostos, e passam pelo mesmo tempo coordenado T no laboratório antes de se reencontrarem). Portanto não há preferência de um sobre o outro — ambos passaram pelas mesmas situações físicas (mesma velocidade em módulo e mesma duração T no laboratório). Assim ambos acumulam o mesmo tempo próprio.
  • Conclusão física: não existe contradição — ambos os relógios marcam o mesmo tempo próprio \Delta \tau = 0{,}8\,T, e esse valor é menor que T por conta da dilatação do tempo. O “paradoxo dos gêmeos” surge apenas quando há uma asimetria (por exemplo, um gêmeo acelera e muda de trajetória para voltar), situação que não ocorre no enunciado simplificado.

Passo 7

Pequeno exemplo numérico para fixar a ideia: se T=10 anos medidos no laboratório, então cada relógio marca
\Delta \tau = 0{,}8 \times 10\\ \text{anos} = 8\\ \text{anos}.
Ou seja, ambos marcam 8 anos quando se reencontram.

Resposta

Tempo próprio de cada um: \Delta \tau = \dfrac{4}{5}\,T = 0{,}8\,T
Resolução do paradoxo simplificado: Ambos os relógios têm trajetórias simétricas e portanto marcam o mesmo tempo próprio \Delta \tau = 0{,}8\,T; não há contradição porque não existe assimetria (aceleração diferenciada) entre eles.

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