Dois riachos se unem para formar um rio. Um dos riachos tem uma largura de 8,0 \mathrm{~m}, uma profundidade de 3,1 \mathrm{~m} e a velocidade da água é 2,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O outro riacho tem 6,2 \mathrm{~m} de largura, 3,4 \mathrm{~m} de profundidade e a velocidade da água é 2,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Se o rio tem uma largura de 11,6 \mathrm{~m} e a velocidade da água é 3,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, qual é a profundidade do rio, em m ?
(a) 2,57
(b) 3,11
(c) 3,45
(d) 3,74
(e) 4,27
(f) 4,54

Passo 1

O enunciado dá dois riachos que se unem formando um rio e pede a profundidade do rio. Dados fornecidos:
  • Riacho 1: largura 8,0\\ \mathrm{m}, profundidade 3,1\\ \mathrm{m}, velocidade 2,5\\ \mathrm{m/s}.
  • Riacho 2: largura 6,2\\ \mathrm{m}, profundidade 3,4\\ \mathrm{m}, velocidade 2,2\\ \mathrm{m/s}.
  • Rio (após a junção): largura 11,6\\ \mathrm{m}, velocidade 3,0\\ \mathrm{m/s}, profundidade desconhecida d (o que devemos encontrar).
A pergunta é: qual é a profundidade d do rio, em metros?

Passo 2

Princípio físico que usamos (explicação didática): como os riachos se juntam sem perda de água, a vazão volumétrica total antes da junção é igual à vazão volumétrica depois. Vazão volumétrica (fluxo de volume por unidade de tempo) chama-se Q. Para um canal com seção retangular, a área da seção transversal é a largura vezes a profundidade. A fórmula que usamos é:
Q = A \, v
onde:
  • Q é a vazão volumétrica (em \mathrm{m^3/s}),
  • A é a área da seção transversal (em \mathrm{m^2}),
  • v é a velocidade média da água (em \mathrm{m/s}).
Portanto, calculamos Q_1 e Q_2 dos dois riachos, somamos para obter Q_{\text{total}}, e igualamos à vazão do rio Q_{\text{rio}}, que é A_{\text{rio}}\cdot v_{\text{rio}}. A profundidade d aparece em A_{\text{rio}}=\text{largura}_{\text{rio}}\cdot d, então isolamos d.

Passo 3

Calcular a área da seção e a vazão do riacho 1.
Área do riacho 1:
A_1 = \text{largura}_1 \cdot \text{profundidade}_1 = 8,0 \cdot 3,1.
Fazendo a multiplicação:
8,0 \cdot 3,1 = 24,8\\ \mathrm{m^2}.
Vazão do riacho 1:
Q_1 = A_1 \cdot v_1 = 24,8 \cdot 2,5.
Multiplicando:
24,8 \cdot 2,5 = 62,0\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 4

Calcular a área da seção e a vazão do riacho 2.
Área do riacho 2:
A_2 = \text{largura}_2 \cdot \text{profundidade}_2 = 6,2 \cdot 3,4.
Multiplicando:
6,2 \cdot 3,4 = 21,08\\ \mathrm{m^2}.
Vazão do riacho 2:
Q_2 = A_2 \cdot v_2 = 21,08 \cdot 2,2.
Multiplicando:
21,08 \cdot 2,2 = 46,376\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 5

Somar as vazões para obter a vazão total que entra no rio:
Q_{\text{total}} = Q_1 + Q_2 = 62,0 + 46,376 = 108,376\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 6

Expressar a vazão do rio em função da profundidade d. A área da seção do rio é
A_{\text{rio}} = \text{largura}_{\text{rio}} \cdot d = 11,6 \cdot d.
A vazão do rio é
Q_{\text{rio}} = A_{\text{rio}} \cdot v_{\text{rio}} = (11,6 \cdot d) \cdot 3,0.
Multiplicando os números conhecidos:
(11,6 \cdot d)\cdot 3,0 = 34,8 \cdot d.
Pela conservação da vazão:
34,8 \cdot d = Q_{\text{total}} = 108,376.

Passo 7

Isolar d e calcular:
d = \frac{108,376}{34,8}.
Fazendo a divisão:
d \approx 3,1142528736\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma prática para duas casas decimais (como as alternativas estão com duas casas):
d \approx 3,11\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Verificação rápida de plausibilidade: a profundidade obtida 3,11\\ \mathrm{m} está entre as profundidades dos riachos originais ( 3,1\\ \mathrm{m} e 3,4\\ \mathrm{m}), o que faz sentido, já que a largura do rio e a velocidade mudam para acomodar o fluxo total.

Resposta

3,11 m (b)

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