Um braço robótico movimenta-se ao longo de um segmento de reta que conecta os pontos A=(1,0,1) e B=(3,2,2). Um sensor detecta a presença de um objeto em P=(3,0,0), e o objetivo é posicionar o braço de modo a ficar o mais próximo possível desse objeto. Quais os valores de \lambda \in[0,1] que minimizam a distância de P ao segmento A B dado por X(\lambda)=(1,0,1)+\lambda(2,2,1).

Passo 1

O enunciado diz que o braço segue o segmento de reta de A=(1,0,1) a B=(3,2,2) parametrizado por
X(\lambda) = (1,0,1) + \lambda\,(2,2,1),
e temos o ponto P=(3,0,0). O conteúdo aqui é usar otimização de uma função unidimensional para minimizar a distância de P a X(\lambda). Vamos modelar a distância ao quadrado e achar o valor de \lambda que a minimiza em [0,1].

Passo 2

Definimos o vetor diferença
D(\lambda) = X(\lambda) - P
e a função distância ao quadrado
f(\lambda) = \|D(\lambda)\|^2.
Como
X(\lambda) = (1+2\lambda,\;2\lambda,\;1+\lambda),
temos
D(\lambda) = \bigl(1+2\lambda-3,\;2\lambda-0,\;1+\lambda-0\bigr) = (2\lambda-2,\;2\lambda,\;\lambda+1).

Passo 3

Agora expandimos
f(\lambda) = (2\lambda-2)^2 + (2\lambda)^2 + (\lambda+1)^2.
Calculando termo a termo:
(2\lambda-2)^2 = 4\lambda^2 - 8\lambda + 4,\quad (2\lambda)^2 = 4\lambda^2,\quad (\lambda+1)^2 = \lambda^2 + 2\lambda +1.
Somando tudo,
f(\lambda) = 4\lambda^2 - 8\lambda + 4 + 4\lambda^2 + \lambda^2 + 2\lambda +1 = 9\lambda^2 -6\lambda +5.

Passo 4

Para minimizar, derivamos
f'(\lambda) = 18\lambda - 6
e igualamos a zero:
18\lambda - 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda^* = \tfrac{1}{3}.

Passo 5

Verificamos que \lambda^* = \tfrac{1}{3} está dentro de [0,1]. Também comparamos valores em 0 e 1, mas vemos que
f(0)=5,\quad f(1)=8,\quad f\bigl(\tfrac13\bigr)=4,
logo o mínimo no segmento ocorre mesmo em \lambda=\tfrac13.

Resposta

\displaystyle \lambda = \tfrac{1}{3}.

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