Dois setores de uma indústria compartilham um laboratório de testes de qualidade, um bem público interno. O custo total é C(Q)=2 Q^{2}. Os benefícios individuais são:
B_{1}(Q)=50 Q-Q^{2}, \quad B_{2}(Q)=30 Q-\frac{1}{2} Q^{2} .
(a) Determine o Q^{*} socialmente ótimo.
(b) Suponha que cada setor decida investir até o ponto em que M B_{i}=M C. Quanto será provido?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Informações fornecidas:
  • Custo total do laboratório: C(Q)=2Q^{2}.
  • Benefício do setor 1: B_{1}(Q)=50Q-Q^{2}.
  • Benefício do setor 2: B_{2}(Q)=30Q-\tfrac{1}{2}Q^{2}.
O enunciado pede:
(a) Determinar o Q^{*} socialmente ótimo (isto é, o nível de Q que maximiza o bem-estar social considerando ambos os setores).
(b) Supondo que cada setor, isoladamente, decida investir até o ponto em que M B_{i}=M C, determinar quanto será provido (ou seja, as quantidades implicadas por essa regra privada).

Passo 2

Entendendo o que significa “socialmente ótimo” para um bem público consumido por ambos os setores.
Explicação didática: para um bem público interno que ambos consomem na mesma quantidade Q, o benefício social total é a soma dos benefícios individuais. Portanto, o benefício social total é
B_{\text{soc}}(Q)=B_{1}(Q)+B_{2}(Q).
A condição usual de ótimo social em quantidade contínua é equacionar a soma das vantagens marginais (a soma das marginais individuais) à marginal do custo total. Em palavras simples: providenciar uma unidade adicional é ótima enquanto a soma do quanto cada setor valoriza essa unidade (soma dos MB individuais) for maior que o custo marginal dessa unidade; na fronteira ótima, soma dos MBs = MC.

Passo 3

Calcular o benefício social total e as marginais.
Somando os benefícios dados:
B_{\text{soc}}(Q)=\bigl(50Q-Q^{2}\bigr)+\bigl(30Q-\tfrac{1}{2}Q^{2}\bigr) =80Q-\tfrac{3}{2}Q^{2}.
Agora calculamos as marginais (derivadas) — vou explicar o conceito e o procedimento.
  • A marginal de uma função significa a derivada: quanto a função muda quando Q muda um pouquinho.
  • Para B_{\text{soc}}(Q), a marginal é MB_{\text{soc}}(Q)=\dfrac{d}{dQ}B_{\text{soc}}(Q).
  • Para C(Q), a marginal é MC(Q)=\dfrac{d}{dQ}C(Q).
Calculemos explicitamente:
MB_{\text{soc}}(Q)=\frac{d}{dQ}\Bigl(80Q-\tfrac{3}{2}Q^{2}\Bigr)=80-3Q,
porque a derivada de 80Q é 80 e a de \tfrac{3}{2}Q^{2} é 3Q.
E
MC(Q)=\frac{d}{dQ}\bigl(2Q^{2}\bigr)=4Q.

Passo 4

A condição do ótimo social e resolução numérica.
Condição do ótimo social:
MB_{\text{soc}}(Q)=MC(Q).
Substituindo as expressões:
80-3Q=4Q.
Resolve-se para Q:
80=7Q \quad\Rightarrow\quad Q^{*}=\frac{80}{7}.
Valor numérico aproximado: \dfrac{80}{7}\approx11{,}4286.
Verificação rápida da segunda ordem (intuição): MB_{\text{soc}}'(Q)=-3<0 (marginal decrescente) e MC'(Q)=4>0 (custo marginal crescente), então a igualdade define um máximo único e bem comportado.

Passo 5

Explicação pedagógica do que acontece na provisão descentralizada (parte b) e interpretação da regra MB_{i}=MC.
Didaticamente: a regra MB_{i}=MC significa que cada setor, agindo isoladamente, compara o benefício marginal que recebe com o custo marginal da unidade adicional do laboratório e para de investir quando os dois se igualam. Aqui o enunciado pede exatamente aplicar essa regra a cada setor: resolver MB_{1}(Q)=MC(Q) e MB_{2}(Q)=MC(Q). Importante: isso é a regra privada de cada setor, não é a soma das marginais; por isso cada setor, se decidir sozinho, aponta para uma quantidade diferente de Q. Essa diferença ilustra o problema clássico dos bens públicos: a provisão privada tende a subestimar a quantidade socialmente ótima porque cada agente não internaliza o benefício do outro.

Passo 6

Calcular Q que cada setor obteria se aplicasse MB_{i}=MC.
Primeiro o setor 1. A marginal privada do setor 1 é a derivada de B_{1}:
MB_{1}(Q)=\frac{d}{dQ}(50Q-Q^{2})=50-2Q.
Igualando a MC(Q)=4Q:
50-2Q=4Q \quad\Rightarrow\quad 50=6Q \quad\Rightarrow\quad Q_{(1)}=\frac{50}{6}=\frac{25}{3}.
Valor aproximado: \dfrac{25}{3}\approx8{,}3333.
Agora o setor 2. A marginal privada do setor 2 é
MB_{2}(Q)=\frac{d}{dQ}\Bigl(30Q-\tfrac{1}{2}Q^{2}\Bigr)=30-Q.
Igualando a MC(Q)=4Q:
30-Q=4Q \quad\Rightarrow\quad 30=5Q \quad\Rightarrow\quad Q_{(2)}=6.

Passo 7

Interpretação e comparação entre as soluções.
  • Ótimo social: Q^{*}=\dfrac{80}{7}\approx11{,}4286.
  • Regra privada (cada setor iguala sua MB_i ao MC):
    • Setor 1 indica Q_{(1)}=\dfrac{25}{3}\approx8{,}3333.
    • Setor 2 indica Q_{(2)}=6.
Observação interpretativa (importante para prova): tanto Q_{(1)} quanto Q_{(2)} são menores que o Q^{*}. Isso mostra que, quando cada setor age isoladamente e não soma os benefícios dos outros, o nível provido do bem público tende a ser inferior ao nível socialmente ótimo — é a clássica subprovisão de bens públicos.

Resposta

(a) Q^{*}=\dfrac{80}{7}.
(b) Setor 1: Q_{(1)}=\dfrac{25}{3}.
Setor 2: Q_{(2)}=6.

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