Dois setores de uma indústria compartilham um laboratório de testes de qualidade, um bem público interno. O custo total é
. Os benefícios individuais são:
(a) Determine o
socialmente ótimo.
(b) Suponha que cada setor decida investir até o ponto em que
. Quanto será provido?
(b) Suponha que cada setor decida investir até o ponto em que
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Informações fornecidas:
- Custo total do laboratório:
. - Benefício do setor 1:
. - Benefício do setor 2:
.
O enunciado pede:
(a) Determinar o socialmente ótimo (isto é, o nível de
que maximiza o bem-estar social considerando ambos os setores).
(b) Supondo que cada setor, isoladamente, decida investir até o ponto em que , determinar quanto será provido (ou seja, as quantidades implicadas por essa regra privada).
(a) Determinar o
(b) Supondo que cada setor, isoladamente, decida investir até o ponto em que
Passo 2
Entendendo o que significa “socialmente ótimo” para um bem público consumido por ambos os setores.
Explicação didática: para um bem público interno que ambos consomem na mesma quantidade
, o benefício social total é a soma dos benefícios individuais. Portanto, o benefício social total é
A condição usual de ótimo social em quantidade contínua é equacionar a soma das vantagens marginais (a soma das marginais individuais) à marginal do custo total. Em palavras simples: providenciar uma unidade adicional é ótima enquanto a soma do quanto cada setor valoriza essa unidade (soma dos MB individuais) for maior que o custo marginal dessa unidade; na fronteira ótima, soma dos MBs = MC.
Passo 3
Calcular o benefício social total e as marginais.
Somando os benefícios dados:
Agora calculamos as marginais (derivadas) — vou explicar o conceito e o procedimento.
- A marginal de uma função significa a derivada: quanto a função muda quando
muda um pouquinho. - Para
, a marginal é . - Para
, a marginal é .
Calculemos explicitamente:
porque a derivada de
é
e a de
é
.
E
Passo 4
A condição do ótimo social e resolução numérica.
Condição do ótimo social:
Substituindo as expressões:
Resolve-se para
:
Valor numérico aproximado:
.
Verificação rápida da segunda ordem (intuição):
(marginal decrescente) e
(custo marginal crescente), então a igualdade define um máximo único e bem comportado.
Passo 5
Explicação pedagógica do que acontece na provisão descentralizada (parte b) e interpretação da regra
.
Didaticamente: a regra
significa que cada setor, agindo isoladamente, compara o benefício marginal que recebe com o custo marginal da unidade adicional do laboratório e para de investir quando os dois se igualam. Aqui o enunciado pede exatamente aplicar essa regra a cada setor: resolver
e
. Importante: isso é a regra privada de cada setor, não é a soma das marginais; por isso cada setor, se decidir sozinho, aponta para uma quantidade diferente de
. Essa diferença ilustra o problema clássico dos bens públicos: a provisão privada tende a subestimar a quantidade socialmente ótima porque cada agente não internaliza o benefício do outro.
Passo 6
Calcular
que cada setor obteria se aplicasse
.
Primeiro o setor 1. A marginal privada do setor 1 é a derivada de
:
Igualando a
:
Valor aproximado:
.
Agora o setor 2. A marginal privada do setor 2 é
Igualando a
:
Passo 7
Interpretação e comparação entre as soluções.
- Ótimo social:
. - Regra privada (cada setor iguala sua
ao ): - Setor 1 indica
. - Setor 2 indica
.
- Setor 1 indica
Observação interpretativa (importante para prova): tanto
quanto
são menores que o
. Isso mostra que, quando cada setor age isoladamente e não soma os benefícios dos outros, o nível provido do bem público tende a ser inferior ao nível socialmente ótimo — é a clássica subprovisão de bens públicos.
Resposta
(a)
.
(b) Setor 1:
Setor 2:
Setor 2: