Para o esmeril do exemplo anterior, suponha a mesma aceleração angular ( 0,35 \mathrm{rad} / \mathrm{s} ) mas que a roda não sai mais do repouso e sim que tenha velocidade angular inicial de -4,6 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, (ou seja, atua incialmente para diminuir a velocidade da roda). (a) em que instante o esmeril atingirá momentaneamente o repouso? (b) em que instante o esmeril completa (no sentido positivo de rotação) cinco revoluções contadas de sua posição angular inicial?

Passo 1

O enunciado dá um esmeril com aceleração angular constante e pede duas coisas. Dados fornecidos e perguntas:
  • Aceleração angular: \alpha = 0,35\\ \mathrm{rad/s^{2}}.
  • Velocidade angular inicial: \omega_{0} = -4,6\\ \mathrm{rad/s}. (o sinal negativo indica que, no instante inicial, o esmeril gira no sentido negativo)
  • Pergunta (a): em que instante o esmeril atinge momentaneamente o repouso? (ou seja, quando a velocidade angular é zero)
  • Pergunta (b): em que instante o esmeril completa cinco revoluções no sentido positivo, contadas a partir da posição angular inicial? (cinco revoluções = 5 rev = 5\cdot 2\pi = 10\pi rad)

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Quando a aceleração angular \alpha é constante, a velocidade angular \omega(t) varia linearmente com o tempo segundo a fórmula
\omega(t)=\omega_{0}+\alpha t,
onde \omega_{0} é a velocidade angular no instante t=0. Essa fórmula vem de integrar \alpha = \dfrac{d\omega}{dt}.
  • A posição angular \theta(t) (deslocamento angular a partir de \theta_0) para aceleração angular constante é
\theta(t)=\theta_{0}+\omega_{0}t+\tfrac{1}{2}\alpha t^{2}.
Aqui \theta_{0} é a posição angular inicial; o termo \omega_{0}t representa o deslocamento que ocorreria com velocidade constante \omega_{0}, e \tfrac{1}{2}\alpha t^{2} é o acréscimo devido à aceleração.
  • Conversão de revoluções para radianos: 1 revolução =2\pi rad, logo 5 revoluções =10\pi rad.
Observação sobre sinais: escolhemos o sentido positivo já presente no enunciado. Como \omega_{0} é negativo e \alpha é positivo, inicialmente o esmeril gira no sentido negativo, mas a aceleração positiva reduz essa velocidade negativa, passa por zero e depois gira no sentido positivo.

Passo 3

Queremos o instante em que o esmeril fica momentaneamente em repouso, ou seja, \omega(t)=0. Usando \omega(t)=\omega_{0}+\alpha t temos
0=\omega_{0}+\alpha t.
Isolando t,
t=-\dfrac{\omega_{0}}{\alpha}.
Substituindo os valores dados ( \omega_{0}=-4,6, \alpha=0,35):
t=-\dfrac{-4,6}{0,35}=\dfrac{4,6}{0,35}.
Podemos simplificar \dfrac{4,6}{0,35}=\dfrac{46}{3,5}=\dfrac{92}{7}. Em forma decimal:
t=\dfrac{92}{7}\\ \mathrm{s}\approx 13,14\\ \mathrm{s}.
Interpretação rápida: após cerca de 13,14 s a velocidade passa por zero; antes desse instante o giro é negativo, depois ele passa a girar no sentido positivo.

Passo 4

Para a parte (b) queremos o instante t tal que o deslocamento angular positivo contado a partir da posição inicial seja 10\pi rad:
\theta(t)-\theta_{0}=10\pi.
Usando \theta(t)=\theta_{0}+\omega_{0}t+\tfrac{1}{2}\alpha t^{2} obtemos a equação
\omega_{0}t+\tfrac{1}{2}\alpha t^{2}=10\pi.
Substituindo \omega_{0}=-4,6 e \alpha=0,35 (e calculando \tfrac{1}{2}\alpha=0,175):
-4,6\,t+0,175\,t^{2}=10\pi.
Colocando tudo no formato padrão de equação quadrática:
0,175\,t^{2}-4,6\,t-10\pi=0.
Essa é uma quadrática em t; vamos resolvê-la com a fórmula de Bhaskara.

Passo 5

Para a equação a t^{2}+b t + c =0 a solução é
t=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=0,175, b=-4,6, c=-10\pi. Calculamos o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac = (-4,6)^{2}-4(0,175)(-10\pi)=21,16+7\pi.
Portanto
t=\dfrac{-(-4,6)\pm\sqrt{21,16+7\pi}}{2\cdot 0,175}=\dfrac{4,6\pm\sqrt{21,16+7\pi}}{0,35}.
Há duas raízes; a que tem sinal menos normalmente dá tempo negativo (evento antes do instante inicial) e não interessa. Tomamos a raiz com o sinal +. Assim:
t=\dfrac{4,6+\sqrt{21,16+7\pi}}{0,35}.
Agora aproximando numericamente: 21,16+7\pi\approx 43,1511486 e \sqrt{21,16+7\pi}\approx 6,56895. Logo
t\approx \dfrac{4,6+6,56895}{0,35}\approx \dfrac{11,16895}{0,35}\approx 31,91\\ \mathrm{s}.
Comentário físico: Esse instante é maior que o instante em que a velocidade é zero ( \approx 13,14 s), ou seja, primeiro o esmeril reduz a velocidade negativa até parar, depois inverte o sentido e só alcança o total de 5 revoluções positivas após aproximadamente 31,91 s.

Passo 6

Resumo rápido: usei as fórmulas de cinemática angular para aceleração constante, transformei 5 revoluções em 10\pi rad, resolvi uma equação linear (parte a) e uma quadrática (parte b). Você conseguiu! Na prova, decore as fórmulas básicas e faça passo a passo como aqui: (1) identificar \omega_{0} e \alpha, (2) escolher a equação correta ( \omega(t) ou \theta(t)), (3) resolver algebraicamente e checar o sinal do tempo.

Resposta

t_{(a)}=\dfrac{92}{7}\\ \mathrm{s}\approx 13,14\\ \mathrm{s}
t_{(b)}=\dfrac{4,6+\sqrt{21,16+7\pi}}{0,35}\approx 31,91\\ \mathrm{s}

Exercícios relacionados