Para o esmeril do exemplo anterior, suponha a mesma aceleração angular (
) mas que a roda não sai mais do repouso e sim que tenha velocidade angular inicial de
, (ou seja, atua incialmente para diminuir a velocidade da roda). (a) em que instante o esmeril atingirá momentaneamente o repouso? (b) em que instante o esmeril completa (no sentido positivo de rotação) cinco revoluções contadas de sua posição angular inicial?
Passo 1
O enunciado dá um esmeril com aceleração angular constante e pede duas coisas. Dados fornecidos e perguntas:
- Aceleração angular:
. - Velocidade angular inicial:
. (o sinal negativo indica que, no instante inicial, o esmeril gira no sentido negativo) - Pergunta (a): em que instante o esmeril atinge momentaneamente o repouso? (ou seja, quando a velocidade angular é zero)
- Pergunta (b): em que instante o esmeril completa cinco revoluções no sentido positivo, contadas a partir da posição angular inicial? (cinco revoluções =
rev = rad)
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática):
- Quando a aceleração angular
é constante, a velocidade angular varia linearmente com o tempo segundo a fórmula
onde
é a velocidade angular no instante
. Essa fórmula vem de integrar
.
- A posição angular
(deslocamento angular a partir de ) para aceleração angular constante é
Aqui
é a posição angular inicial; o termo
representa o deslocamento que ocorreria com velocidade constante
, e
é o acréscimo devido à aceleração.
- Conversão de revoluções para radianos:
revolução rad, logo revoluções rad.
Observação sobre sinais: escolhemos o sentido positivo já presente no enunciado. Como
é negativo e
é positivo, inicialmente o esmeril gira no sentido negativo, mas a aceleração positiva reduz essa velocidade negativa, passa por zero e depois gira no sentido positivo.
Passo 3
Queremos o instante em que o esmeril fica momentaneamente em repouso, ou seja,
. Usando
temos
Isolando
,
Substituindo os valores dados (
,
):
Podemos simplificar
. Em forma decimal:
Interpretação rápida: após cerca de
s a velocidade passa por zero; antes desse instante o giro é negativo, depois ele passa a girar no sentido positivo.
Passo 4
Para a parte (b) queremos o instante
tal que o deslocamento angular positivo contado a partir da posição inicial seja
rad:
Usando
obtemos a equação
Substituindo
e
(e calculando
):
Colocando tudo no formato padrão de equação quadrática:
Essa é uma quadrática em
; vamos resolvê-la com a fórmula de Bhaskara.
Passo 5
Para a equação
a solução é
Aqui
,
,
. Calculamos o discriminante:
Portanto
Há duas raízes; a que tem sinal menos normalmente dá tempo negativo (evento antes do instante inicial) e não interessa. Tomamos a raiz com o sinal
. Assim:
Agora aproximando numericamente:
e
. Logo
Comentário físico: Esse instante é maior que o instante em que a velocidade é zero (
s), ou seja, primeiro o esmeril reduz a velocidade negativa até parar, depois inverte o sentido e só alcança o total de
revoluções positivas após aproximadamente
s.
Passo 6
Resumo rápido: usei as fórmulas de cinemática angular para aceleração constante, transformei 5 revoluções em
rad, resolvi uma equação linear (parte a) e uma quadrática (parte b). Você conseguiu! Na prova, decore as fórmulas básicas e faça passo a passo como aqui: (1) identificar
e
, (2) escolher a equação correta (
ou
), (3) resolver algebraicamente e checar o sinal do tempo.