É possível construir um volante que armazena energia suficiente para dirigir um automóvel. Considere que um volante desse tipo possa ser aproximado por um disco de massa 25 kg e raio 25 cm . (a) Se o volante é posto a girar a 12.000 \mathrm{rev} / \mathrm{min}, que quantidade de energia cinética ele pode armazenar? (b) Se essa energia é totalmente transportada para o movimento do automóvel em 10 s , que tem massa 500 kg , qual a aceleração que ele pode adquirir nesse tempo?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e fornece dados numéricos. Vou listar claramente cada pergunta e todos os dados que temos:
  • Perguntas:
    (a) Qual a energia cinética armazenada pelo volante quando gira a 12\,000\\ \mathrm{rev/min}?
    (b) Se essa energia for totalmente transferida para um automóvel de massa 500\\ \mathrm{kg} em 10\\ \mathrm{s}, qual aceleração média o automóvel adquire nesse intervalo?
  • Dados fornecidos:
    \begin{aligned} &\text{massa do volante: } M=25\\ \mathrm{kg},\\\ &\text{raio do volante: } R=25\\ \mathrm{cm}=0,25\\ \mathrm{m},\\\ &\text{velocidade angular dada em rotações: } 12\,000\\ \mathrm{rev/min},\\\ &\text{massa do automóvel: } m=500\\ \mathrm{kg},\\\ &\text{tempo de transferência: } \Delta t=10\\ \mathrm{s}. \end{aligned}çõóê

Passo 2

Conceito e fórmula para energia rotacional (aula rápida e prática).
  • Um corpo rígido em rotação armazena energia cinética rotacional dada por: K_{\text{rot}}=\tfrac{1}{2}I\omega^{2},onde I é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação e \omega é a velocidade angular em \mathrm{rad/s}.
  • Para um disco sólido (aproximação do volante) o momento de inércia em relação ao eixo central é I=\tfrac{1}{2}MR^{2}.Aqui M é a massa do disco e R seu raio. Vou usar essas fórmulas para calcular a energia armazenada no volante.

Passo 3

Converter a velocidade de 12\,000\\ \mathrm{rev/min} para \mathrm{rad/s}.
  • Primeiro converto para \mathrm{rev/s}: 12\,000\\ \mathrm{rev/min} = \frac{12\,000}{60}\\ \mathrm{rev/s} = 200\\ \mathrm{rev/s}.
  • Cada rotação tem 2\pi radianos, então \omega = 200\times 2\pi = 400\pi\\ \mathrm{rad/s}.
  • Valor aproximado: \omega \approx 400\pi \approx 1256,64\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Calcular o momento de inércia I do volante usando I=\tfrac{1}{2}MR^{2}.
  • Substituindo M=25\\ \mathrm{kg} e R=0,25\\ \mathrm{m}: I = \tfrac{1}{2}\cdot 25\cdot (0,25)^{2}.
  • Calculo passo a passo: (0,25)^{2}=0,0625,
25\cdot 0,0625 = 1,5625,
I = \tfrac{1}{2}\cdot 1,5625 = 0,78125\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.

Passo 5

Calcular a energia rotacional K.
  • Usando K=\tfrac{1}{2}I\omega^{2} e os valores encontrados: K=\tfrac{1}{2}\cdot 0,78125\cdot (400\pi)^{2}.
  • Posso simplificar: \tfrac{1}{2}\cdot 0,78125 = 0,390625. E (400\pi)^{2}=160\,000\pi^{2}.
  • Aproximação numérica de \pi^{2}\approx 9,8696, então (400\pi)^{2}\approx 160\,000\times 9,8696 \approx 1\,579\,136.
  • Agora K\approx 0,390625\times 1\,579\,136 = 616\,850\\ \mathrm{J}.
  • Conclusão do item (a): o volante armazena aproximadamente 6,17\times 10^{5}\\ \mathrm{J} (ou 616\,850\\ \mathrm{J}).

Passo 6

Transferir a energia para o automóvel e encontrar a velocidade final (aula prática sobre energia de translação).
  • Se toda a energia K vai para a energia cinética translacional do carro, então K=\tfrac{1}{2}m v^{2},onde m=500\\ \mathrm{kg} é a massa do carro e v a velocidade adquirida.
  • Isolando v: v=\sqrt{\dfrac{2K}{m}}.
  • Substituindo K=616\,850\\ \mathrm{J} e m=500\\ \mathrm{kg}: v=\sqrt{\dfrac{2\cdot 616\,850}{500}}=\sqrt{2467,4}\approx 49,67\\ \mathrm{m/s}.
  • Interpretação rápida: 49,67\\ \mathrm{m/s} equivale a cerca de 49,67\times 3,6\approx 178,8\\ \mathrm{km/h} (só para referência — não pediu, só uma intuição).

Passo 7

Calcular a aceleração média adquirida no intervalo de 10\\ \mathrm{s}.
  • Assumindo aceleração média constante a que leva o carro de repouso até v em tempo \Delta t=10\\ \mathrm{s}, temos a=\dfrac{v}{\Delta t}.
  • Substituindo v\approx 49,67\\ \mathrm{m/s}: a\approx \dfrac{49,67}{10}=4,967\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Arredondando com duas casas decimais: a\approx 4,97\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Comentário motivador: isso é aproximadamente 0,51g (onde g\approx 9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}), uma aceleração bem significativa — o volante aqui guarda muita energia!

Resposta

(a) 6,17\times 10^{5}\\ \mathrm{J} (aproximadamente 616\,850\\ \mathrm{J}).
(b) 4,97\\ \mathrm{m/s^{2}}.

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