Dois solenoides idênticos são ligados em série. Determine a indutância equivalente.

Passo 1

O enunciado diz: “Dois solenoides idênticos são ligados em série. Determine a indutância equivalente.”
Informações relevantes e o que o problema pede:
  • Os dois solenoides são idênticos, ou seja, cada um tem a mesma indutância (vou chamar de \,L\, a indutância de cada um).
  • Eles são ligados em série eletricamente (a mesma corrente passa pelos dois).
  • O pedido: encontrar a indutância equivalente total do conjunto ligado em série.
    Observação importante (sem perguntar nada a mais): o enunciado não fala em acoplamento magnético especial entre bobinas, então adotamos o caso padrão de inductores em série sem efeito mútuo além da passagem da mesma corrente. Vou mostrar também a interpretação física de juntá‑los como um único solenoide mais longo para reforçar a ideia.

Passo 2

Conceitos fundamentais que vamos usar (explicadinho):
  • Definição de fluxo magnético por espira: a cada espira passa um fluxo magnético \Phi dado por \Phi = B A, onde \,B é o campo magnético no interior da espira e \,A\, é a área da seção transversal.
  • Ligação de fluxo (flux linkage) de uma bobina com N espiras: \Lambda = N\Phi. A unidade de \Lambda é weber-espira.
  • Definição de indutância L de uma bobina: \,L=\dfrac{\Lambda}{I}, ou seja, a indutância é a razão entre a ligação de fluxos e a corrente que a produz; \,I\, é a corrente elétrica que percorre a bobina.
    Esses conceitos significam, em palavras: a indutância mede quanto fluxo total (contando todas as espiras) é gerado por uma dada corrente.

Passo 3

Fórmula da indutância de um solenoide longo (derivação curta e clara):
  • Campo magnético dentro de um solenoide longo com N espiras, comprimento l e permeabilidade magnética \mu é aproximadamente
B=\mu\frac{N}{l}\,I.
Aqui \mu=\mu_0\mu_r, \mu_0 é a permeabilidade do espaço livre, \mu_r a relativa do material, N número de espiras, l comprimento do solenoide e I corrente.
  • Fluxo por espira:
\Phi = B A = \mu\frac{N}{l}\,I\;A,
onde A é a área da seção.
  • Ligação de fluxos (todas as espiras):
\Lambda = N\Phi = N\left(\mu\frac{N}{l}I A\right)=\mu\frac{N^{2}A}{l}\,I.
  • Assim, a indutância do solenoide vale
L=\frac{\Lambda}{I}=\mu\frac{N^{2}A}{l}.
Explicando as variáveis: \,L é a indutância, \mu a permeabilidade, \,N o número de espiras, \,A a área da seção, \,l o comprimento do solenoide.

Passo 4

Regra para indutores em série (razão física e matemática):
  • Quando dois indutores são ligados eletricamente em série (sem considerar acoplamento magnético especial), a mesma corrente I passa por ambos. A ligação total de fluxos do conjunto é a soma das ligações individuais:
\Lambda_{\text{eq}}=\Lambda_1+\Lambda_2.
  • Como \Lambda_i=L_i I para cada indutor, segue
\Lambda_{\text{eq}}=(L_1+L_2)\,I.
  • Pela definição de indutância equivalente L_{\text{eq}}=\dfrac{\Lambda_{\text{eq}}}{I}, obtemos
L_{\text{eq}}=L_1+L_2.
Isto é análogo à soma de resistores em série, mas aqui somam-se as indutâncias quando não há efeito mútuo que as modifique.

Passo 5

Aplicando ao caso de dois solenoides idênticos:
  • Como são idênticos, L_1=L_2=L. Substituindo na fórmula anterior:
L_{\text{eq}}=L_1+L_2=L+L=2L.
  • Interpretação alternativa (mesma conclusão): se os dois solenoides forem colocados fisicamente um após o outro formando um solenoide mais longo, o número total de espiras passa a ser 2N e o comprimento aproximadamente 2l; usando \,L=\mu N^{2}A/l para o solenoide total dá
L_{\text{total}}=\mu\frac{(2N)^{2}A}{2l}=2\mu\frac{N^{2}A}{l}=2L,
ou seja, consistente com a soma simples.

Resposta

L_{\text{eq}}=2L

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