• 35 Estime a distância total percorrida por um dêuteron no cíclotron do Exemplo 28-5 durante o processo de aceleração. Suponha que a diferença de potencial entre os dês é 80 kV .

Passo 1

O enunciado pede: estimar a distância total percorrida por um dêuteron no cíclotron do Exemplo 28-5 durante a aceleração. As informações fornecidas no enunciado que recebi são:
  • Diferença de potencial entre os dês: \Delta V = 80\\ \text{kV}.
Informação ausente e que provavelmente está no “Exemplo 28-5” (não me foi fornecido): valor do campo magnético B do cíclotron e/ou o valor da energia cinética final do dêuteron (ou raio final). Esses dados são necessários para obter um valor numérico para a distância total percorrida.

Passo 2

Como o problema depende de dados do Exemplo 28-5 que não foram passados, não posso calcular um número final. Mesmo assim, vou ensinar passo a passo como se resolve esse problema na prova e deduzir uma fórmula que permite obter a distância total assim que se conheçam os dados que faltam. Assim você já sai pronto para plugá-los.
Primeiro, ideia física básica do cíclotron (explicação bem didática):
  • O dêuteron tem carga elétrica q (para um dêuteron q=+e, onde e=1{,}602\times10^{-19}\\ \text{C}) e massa m (massa do dêuteron aproximada m\approx3{,}344\times10^{-27}\\ \text{kg}).
  • A cada vez que a partícula atravessa a fenda entre os dês, ela ganha uma energia cinética igual a q\Delta V, onde \Delta V é a diferença de potencial entre os dês (aqui \Delta V=80\\ \text{kV}).
  • Em um cíclotron típico com dois dês, a partícula cruza a fenda duas vezes por revolução (uma ao passar de um dê para o outro e outra ao voltar), então a energia adquirida por revolução é 2 q\Delta V.

Passo 3

Definindo variáveis e quantidades úteis:
  • Energia cinética final do dêuteron: \(K_f) (em joules). Esse é um dado que deveria vir do Exemplo 28-5; se o exemplo fornece K_f ou o número de voltagens aplicadas, podemos usá-lo.
  • Carga: \(q).
  • Potencial por passagem: \(\Delta V).
  • Campo magnético: \(B).
  • Massa do dêuteron: \(m).
Número total de revoluções necessárias para atingir \(K_f):
N_{\text{rev}}=\frac{K_f}{2 q \Delta V}.
Explicação: cada revolução adiciona 2 q\Delta V de energia; dividindo a energia total desejada por essa quantia temos o número de voltas.

Passo 4

Relação entre raio da órbita e energia cinética (passo didático):
  • A força centrípeta necessária para curvar a partícula é fornecida pela força magnética:
q v B = \frac{m v^{2}}{r},
onde v é a velocidade instantânea e r o raio da órbita no instante considerado.
  • Simplificando obtemos a relação entre momento e raio:
r=\frac{m v}{q B}=\frac{p}{q B}.
  • Usando energia cinética não relativística K=\tfrac{1}{2}m v^{2}, o momento é p=m v=\sqrt{2 m K}. Assim
r(K)=\frac{\sqrt{2 m K}}{q B}.
Explicação: conforme a energia K aumenta, o raio cresce como \sqrt{K}.

Passo 5

Cálculo da distância total percorrida S durante a aceleração (passo a passo e com integração):
  • Em cada revolução a partícula percorre um comprimento aproximadamente igual à circunferência 2\pi r(K), onde K é a energia naquela revolução.
  • Pensando infinitesimalmente: ao aumentar a energia de K para K+dK, o número de revoluções adicionadas é dN_{\text{rev}} = \dfrac{dK}{2 q \Delta V}. Portanto o comprimento percorrido correspondente é
dS = 2\pi r(K)\,dN_{\text{rev}}.
  • Substituindo r(K) e dN_{\text{rev}}:
dS = 2\pi\left(\frac{\sqrt{2 m K}}{q B}\right)\left(\frac{dK}{2 q \Delta V}\right).
  • Simplificando:
dS = \frac{\pi}{q^{2} B \Delta V}\sqrt{2 m}\;K^{1/2}\,dK.
  • Integrando K de 0 até K_f obtemos a distância total:
S=\int_{0}^{K_f} dS = \frac{\pi\sqrt{2 m}}{q^{2} B \Delta V}\int_{0}^{K_f} K^{1/2}\,dK.
  • A integral \int_{0}^{K_f} K^{1/2}\,dK=\tfrac{2}{3}K_f^{3/2}. Assim:
S=\frac{\pi\sqrt{2 m}}{q^{2} B \Delta V}\cdot\frac{2}{3}K_f^{3/2} = \frac{2\pi\sqrt{2 m}}{3 q^{2} B \Delta V}\;K_f^{3/2}.
Esta é a fórmula final que dá a distância total percorrida durante a aceleração, em função da energia final K_f, do campo B, da massa m, da carga q e da diferença de potencial \Delta V.

Passo 6

Interpretação prática e como usar a fórmula na prova:
  • Todas as quantidades na fórmula são claras:
    • K_f em joules (energia cinética final do dêuteron),
    • m massa do dêuteron ( m\approx3{,}344\times10^{-27}\\ \text{kg}),
    • q=e=1{,}602\times10^{-19}\\ \text{C},
    • \Delta V=80\\ \text{kV}=8{,}0\times10^{4}\\ \text{V} (dado do enunciado),
    • B em tesla (dado do Exemplo 28-5).
  • Procedimento para obter o valor numérico na prova:
    1. Obter K_f (se o exemplo der energia final direta) ou obter B e raio final r_f (pelo exemplo) e daí calcular K_f pela relação K_f=\dfrac{(q B r_f)^{2}}{2 m}.
    2. Substituir K_f, m, q, B e \Delta V na fórmula
    S=\frac{2\pi\sqrt{2 m}}{3 q^{2} B \Delta V}\;K_f^{3/2}e calcular S. Se preferir, pode primeiro calcular o número total de revoluções N_{\text{rev}}=K_f/(2 q \Delta V) e depois somar as circunferências (a integral que fizemos é a versão contínua e mais elegante dessa soma).

Passo 7

Motivo pelo qual não dou um número final: faltam dados essenciais do Exemplo 28-5. Especificamente, para um cálculo numérico preciso precisa-se de pelo menos:
  • o valor de K_f (energia final do dêuteron) — ou equivalente,
  • ou o valor do campo magnético B e do raio final r_f (com estes últimos pode-se calcular K_f),
  • sem esses dados não há como obter S numericamente.
Se você me fornecer qualquer um desses dados (por exemplo: o valor de B e o raio final r_f, ou diretamente K_f), eu já consigo calcular o valor numérico de S aplicando a fórmula acima. Você já tem esses valores no enunciado do Exemplo 28-5?

Resposta

Não é possível estimar numericamente: falta o valor do campo magnético B ou da energia cinética final K_f (dados do Exemplo 28-5). A fórmula geral para a distância total é
S=\frac{2\pi\sqrt{2 m}}{3 q^{2} B \Delta V}\;K_f^{3/2}.

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