- 35 Estime a distância total percorrida por um dêuteron no cíclotron do Exemplo 28-5 durante o processo de aceleração. Suponha que a diferença de potencial entre os dês é 80 kV .
Passo 1
O enunciado pede: estimar a distância total percorrida por um dêuteron no cíclotron do Exemplo 28-5 durante a aceleração. As informações fornecidas no enunciado que recebi são:
- Diferença de potencial entre os dês:
.
Informação ausente e que provavelmente está no “Exemplo 28-5” (não me foi fornecido): valor do campo magnético
do cíclotron e/ou o valor da energia cinética final do dêuteron (ou raio final). Esses dados são necessários para obter um valor numérico para a distância total percorrida.
Passo 2
Como o problema depende de dados do Exemplo 28-5 que não foram passados, não posso calcular um número final. Mesmo assim, vou ensinar passo a passo como se resolve esse problema na prova e deduzir uma fórmula que permite obter a distância total assim que se conheçam os dados que faltam. Assim você já sai pronto para plugá-los.
Primeiro, ideia física básica do cíclotron (explicação bem didática):
- O dêuteron tem carga elétrica
(para um dêuteron , onde ) e massa (massa do dêuteron aproximada ). - A cada vez que a partícula atravessa a fenda entre os dês, ela ganha uma energia cinética igual a
, onde é a diferença de potencial entre os dês (aqui ). - Em um cíclotron típico com dois dês, a partícula cruza a fenda duas vezes por revolução (uma ao passar de um dê para o outro e outra ao voltar), então a energia adquirida por revolução é
.
Passo 3
Definindo variáveis e quantidades úteis:
- Energia cinética final do dêuteron:
) (em joules). Esse é um dado que deveria vir do Exemplo 28-5; se o exemplo fornece
ou o número de voltagens aplicadas, podemos usá-lo. - Carga: ).
- Potencial por passagem: ).
- Campo magnético: ).
- Massa do dêuteron: ).
Número total de revoluções necessárias para atingir
):
Explicação: cada revolução adiciona
de energia; dividindo a energia total desejada por essa quantia temos o número de voltas.
Passo 4
Relação entre raio da órbita e energia cinética (passo didático):
- A força centrípeta necessária para curvar a partícula é fornecida pela força magnética:
onde
é a velocidade instantânea e
o raio da órbita no instante considerado.
- Simplificando obtemos a relação entre momento e raio:
- Usando energia cinética não relativística
, o momento é . Assim
Explicação: conforme a energia
aumenta, o raio cresce como
.
Passo 5
Cálculo da distância total percorrida
durante a aceleração (passo a passo e com integração):
- Em cada revolução a partícula percorre um comprimento aproximadamente igual à circunferência
, onde é a energia naquela revolução. - Pensando infinitesimalmente: ao aumentar a energia de
para , o número de revoluções adicionadas é . Portanto o comprimento percorrido correspondente é
- Substituindo
e :
- Simplificando:
- Integrando
de até obtemos a distância total:
- A integral
. Assim:
Esta é a fórmula final que dá a distância total percorrida durante a aceleração, em função da energia final
, do campo
, da massa
, da carga
e da diferença de potencial
.
Passo 6
Interpretação prática e como usar a fórmula na prova:
- Todas as quantidades na fórmula são claras:
-
em joules (energia cinética final do dêuteron), -
massa do dêuteron ( ), -
, -
(dado do enunciado), -
em tesla (dado do Exemplo 28-5).
-
- Procedimento para obter o valor numérico na prova:
- Obter
(se o exemplo der energia final direta) ou obter e raio final (pelo exemplo) e daí calcular pela relação . - Substituir
, , , e na fórmula
e calcular . Se preferir, pode primeiro calcular o número total de revoluções e depois somar as circunferências (a integral que fizemos é a versão contínua e mais elegante dessa soma). - Obter
Passo 7
Motivo pelo qual não dou um número final: faltam dados essenciais do Exemplo 28-5. Especificamente, para um cálculo numérico preciso precisa-se de pelo menos:
- o valor de
(energia final do dêuteron) — ou equivalente, - ou o valor do campo magnético
e do raio final (com estes últimos pode-se calcular ), - sem esses dados não há como obter
numericamente.
Se você me fornecer qualquer um desses dados (por exemplo: o valor de
e o raio final
, ou diretamente
), eu já consigo calcular o valor numérico de
aplicando a fórmula acima. Você já tem esses valores no enunciado do Exemplo 28-5?
Resposta
Não é possível estimar numericamente: falta o valor do campo magnético
ou da energia cinética final
(dados do Exemplo 28-5). A fórmula geral para a distância total é