Dois tanques A e B estão inicialmente isolados através de uma válvula. O tanque A contém 1,0 \mathrm{~m}^{3} de ar à pressão absoluta de 100 kPa e temperatura de 60^{\circ} \mathrm{C}. O tanque B contém uma mistura de \mathrm{N}_{2} e \mathrm{O}_{2} com 95,0 \% de \mathrm{N}_{2} a 90^{\circ} \mathrm{C} e pressão absoluta de 200 kPa . A válvula é então aberta, permitindo que os dois tanques se misturem. Após a homogeneização, determinou-se que o gás continha 85,0 \% de \mathrm{N}_{2}. Calcule o volume do tanque B .

Passo 1

O enunciado dá duas câmaras isoladas que depois são conectadas. Precisamos achar o volume do tanque B. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
  • Tanque A:
    • Volume: V_A = 1{,}0\\ \mathrm{m}^3
    • Pressão absoluta: p_A = 100\\ \mathrm{kPa}
    • Temperatura: T_A = 60^\circ\mathrm{C}
  • Tanque B:
    • Volume: V_B (desconhecido)
    • Pressão absoluta: p_B = 200\\ \mathrm{kPa}
    • Temperatura: T_B = 90^\circ\mathrm{C}
    • Composição inicial: 95{,}0\% de \mathrm{N}_2 (isto é, fração molar y_{N_2,B}=0{,}95)
  • Depois de aberta a válvula e homogeneizada a mistura, a composição final é 85{,}0\% de \mathrm{N}_2 (fração molar final x_{N_2,\text{final}}=0{,}85).
Observação importante (assunção que preciso fazer porque o enunciado só diz “ar” no tanque A): vou assumir a composição do ar como 79{,}0\% de \mathrm{N}_2 e 21{,}0\% de \mathrm{O}_2 em frações molares (ou seja, y_{N_2,A}=0{,}79). Se seu professor usa outro valor (como 78{,}1\% etc.), o procedimento é o mesmo e dá resultado parecido.
Outras convenções e constantes que usarei:
  • Converter temperaturas para Kelvin: T\,[\mathrm{K}]=T[^\circ\mathrm{C}]+273{,}15.
  • Usarei a equação dos gases ideais \displaystyle pV=nRT, onde
    • p é a pressão absoluta em \mathrm{Pa},
    • V é o volume em \mathrm{m}^3,
    • n é o número de mols,
    • R é a constante universal dos gases R=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},
    • T é a temperatura em \mathrm{K}.
A resolução numérica começa no próximo passo.

Passo 2

Transformar as temperaturas e escrever a equação dos gases para o tanque A.
  • Converter temperaturas:
    T_A = 60^\circ\mathrm{C} = 60 + 273{,}15 = 333{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Equação dos gases para o total de mols em A:
    n_A = \frac{p_A V_A}{R T_A}.
    Vou usar p_A em pascal: p_A = 100\\ \mathrm{kPa} = 100000\\ \mathrm{Pa}.
  • Substituindo números:
    n_A = \frac{100000\cdot 1{,}0}{8{,}314462618\cdot 333{,}15}.
Calcular o denominador:
8{,}314462618\cdot 333{,}15 \approx 2769{,}9632208.
Portanto
n_A \approx \frac{100000}{2769{,}9632208} \approx 36{,}116\\ \mathrm{mol}.

Passo 3

Calcular o número de mols totais em B em função de V_B.
  • Converter temperatura de B:
    T_B = 90^\circ\mathrm{C} = 90 + 273{,}15 = 363{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Equação dos gases para B:
    n_B = \frac{p_B V_B}{R T_B}.
    Com p_B = 200\\ \mathrm{kPa} = 200000\\ \mathrm{Pa}.
  • Substituindo:
    n_B = \frac{200000\cdot V_B}{8{,}314462618\cdot 363{,}15}.
Calcular o denominador:
8{,}314462618\cdot 363{,}15 \approx 3019{,}3970997.
Assim podemos escrever n_B como
n_B \approx \left(\frac{200000}{3019{,}3970997}\right)V_B \approx 66{,}231\,V_B\quad(\mathrm{mol}),
onde V_B está em \mathrm{m}^3.

Passo 4

Calcular os mols de \mathrm{N}_2 em cada tanque antes de abrir a válvula, usando as frações molares.
  • Tanque A: fração molar de \mathrm{N}_2 assumida y_{N_2,A}=0{,}79.
    n_{N_2,A} = y_{N_2,A}\,n_A = 0{,}79\cdot 36{,}116 \approx 28{,}532\\ \mathrm{mol}.
  • Tanque B: fração molar de \mathrm{N}_2 dada y_{N_2,B}=0{,}95.
    n_{N_2,B} = y_{N_2,B}\,n_B = 0{,}95\cdot (66{,}231\,V_B) \approx 62{,}91945\,V_B\\ \mathrm{mol}.

Passo 5

Impor a condição sobre a fração molar final de \mathrm{N}_2 e resolver para V_B.
  • Após a mistura, o número total de mols é
    n_{\text{total}} = n_A + n_B = 36{,}116 + 66{,}231\,V_B.
  • O número total de mols de \mathrm{N}_2 é
    n_{N_2,\text{total}} = n_{N_2,A} + n_{N_2,B} = 28{,}532 + 62{,}91945\,V_B.
  • A fração molar final de \mathrm{N}_2 é dada: x_{N_2,\text{final}}=0{,}85. Então
    \frac{28{,}532 + 62{,}91945\,V_B}{36{,}116 + 66{,}231\,V_B} = 0{,}85.
  • Resolver a equação (passo a passo):
    28{,}532 + 62{,}91945\,V_B = 0{,}85\left(36{,}116 + 66{,}231\,V_B\right).
    Calcular o lado direito:
    0{,}85\cdot 36{,}116 = 30{,}6986,\qquad 0{,}85\cdot 66{,}231 = 56{,}29635.
    Portanto
    28{,}532 + 62{,}91945\,V_B = 30{,}6986 + 56{,}29635\,V_B.
  • Agrupar termos:
    (62{,}91945 - 56{,}29635)\,V_B = 30{,}6986 - 28{,}532.
6{,}62310\,V_B = 2{,}1666\\ (\text{aprox. }2{,}16696).
  • Logo V_B \approx \frac{2{,}16696}{6{,}62310} \approx 0{,}327\\ \mathrm{m}^3.

Passo 6

Checagem rápida (substituir V_B obtido para ver se a fração final dá aproximadamente 0{,}85):
  • Com V_B=0{,}327\\ \mathrm{m}^3: n_B \approx 66{,}231\cdot 0{,}327 \approx 21{,}66\\ \mathrm{mol}.
n_{\text{total}} \approx 36{,}116 + 21{,}66 \approx 57{,}776\\ \mathrm{mol}.
n_{N_2,\text{total}} \approx 28{,}532 + 62{,}91945\cdot 0{,}327 \approx 28{,}532 + 20{,}000 \approx 48{,}532\\ \mathrm{mol}.
\frac{48{,}532}{57{,}776}\approx 0{,}84\text{--}0{,}85\\ (\text{aproximadamente }0{,}84{,}0{,}85),
confirmando que o resultado está coerente (diferenças pequenas vêm de arredondamentos intermediários).

Resposta

V_B = 0{,}327\\ \mathrm{m}^3

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