Dois trabalhadores podem fazer um trabalho em 15 e 16 dias, respectivamente, trabalhando sós. Com o auxílio de um terceiro, podem fazê-lo em 6 dias. Em quanto tempo o terceiro trabalhador pode fazer o serviço, trabalhando só?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Um trabalhador sozinho faz o serviço em \,15\, dias.
  • Outro trabalhador sozinho faz o serviço em \,16\, dias.
  • Os dois juntos com um terceiro trabalhador fazem o serviço em \,6\, dias.
O que se pede:
  • Determinar em quanto tempo (em dias) o terceiro trabalhador faz o serviço trabalhando só.

Passo 2

Ideia chave (explicação didática): representar o trabalho por “1” (um serviço completo) e pensar em taxas de trabalho (fração do serviço feita por dia).
  • Se alguém faz o serviço em \,t\, dias, então sua taxa diária é \dfrac{1}{t} do serviço por dia. Por exemplo, quem faz em \,5\, dias faz \dfrac{1}{5} do serviço em um dia.
  • Quando pessoas trabalham juntas, as suas contribuições diárias somam-se (assumindo que trabalham independentemente e sem atrapalhar-se). Assim, a taxa conjunta é a soma das taxas individuais.

Passo 3

Definimos a incógnita:
  • Seja \,T\, o número de dias que o terceiro trabalhador leva sozinho para completar o serviço.
Pelo raciocínio de taxas, a soma das taxas dos três é a taxa conjunta que completa o trabalho em \,6\, dias. Escrevemos a equação:
\frac{1}{15}+\frac{1}{16}+\frac{1}{T}=\frac{1}{6}.
Aqui cada termo tem este significado:
  • \dfrac{1}{15}: fração do trabalho feita por dia pelo primeiro trabalhador.
  • \dfrac{1}{16}: fração do trabalho feita por dia pelo segundo trabalhador.
  • \dfrac{1}{T}: fração do trabalho feita por dia pelo terceiro (incógnita).
  • \dfrac{1}{6}: fração do trabalho feita por dia quando os três trabalham juntos.

Passo 4

Calcular \dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{16}. Para somar frações, usamos o mínimo múltiplo comum dos denominadores 15 e 16, que é 240. Então:
\frac{1}{15}+\frac{1}{16}=\frac{16}{240}+\frac{15}{240}=\frac{31}{240}.

Passo 5

Substituímos na equação e isolamos \dfrac{1}{T}:
\frac{31}{240}+\frac{1}{T}=\frac{1}{6}.
Transformamos \dfrac{1}{6} para denominador 240: \dfrac{1}{6}=\dfrac{40}{240}. Então
\frac{1}{T}=\frac{40}{240}-\frac{31}{240}=\frac{9}{240}.
Simplificando \dfrac{9}{240} dividindo numerador e denominador por 3:
\frac{1}{T}=\frac{3}{80}.
Invertendo para obter T:
T=\frac{80}{3}.

Passo 6

Interpretando o resultado em forma mais prática:
T=\frac{80}{3}=26\frac{2}{3}\\ \text{dias}.
E como \dfrac{2}{3} de um dia equivale a 16 horas, podemos também dizer:
T=26\\ \text{dias e}\\\ 16\\ \text{horas}.

Passo 7

Verificação rápida (checar que faz sentido): somando as taxas com \dfrac{1}{T}=\dfrac{3}{80} obtemos
\frac{1}{15}+\frac{1}{16}+\frac{3}{80}=\frac{31}{240}+\frac{9}{240}=\frac{40}{240}=\frac{1}{6},
o que confirma que, juntos, os três terminam em \,6\, dias. Boa! Continua firme — esse tipo de questão é muito comum em prova.

Resposta

\dfrac{80}{3} dias =26\frac{2}{3} dias =26\\ \text{dias e }16\\ \text{horas}

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