Dois trabalhadores podem fazer um trabalho em 15 e 16 dias, respectivamente, trabalhando sós. Com o auxílio de um terceiro, podem fazê-lo em 6 dias. Em quanto tempo o terceiro trabalhador pode fazer o serviço, trabalhando só?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Um trabalhador sozinho faz o serviço em
dias. - Outro trabalhador sozinho faz o serviço em
dias. - Os dois juntos com um terceiro trabalhador fazem o serviço em
dias.
O que se pede:
- Determinar em quanto tempo (em dias) o terceiro trabalhador faz o serviço trabalhando só.
Passo 2
Ideia chave (explicação didática): representar o trabalho por “1” (um serviço completo) e pensar em taxas de trabalho (fração do serviço feita por dia).
- Se alguém faz o serviço em
dias, então sua taxa diária é do serviço por dia. Por exemplo, quem faz em dias faz do serviço em um dia. - Quando pessoas trabalham juntas, as suas contribuições diárias somam-se (assumindo que trabalham independentemente e sem atrapalhar-se). Assim, a taxa conjunta é a soma das taxas individuais.
Passo 3
Definimos a incógnita:
- Seja
o número de dias que o terceiro trabalhador leva sozinho para completar o serviço.
Pelo raciocínio de taxas, a soma das taxas dos três é a taxa conjunta que completa o trabalho em
dias. Escrevemos a equação:
Aqui cada termo tem este significado:
-
: fração do trabalho feita por dia pelo primeiro trabalhador. -
: fração do trabalho feita por dia pelo segundo trabalhador. -
: fração do trabalho feita por dia pelo terceiro (incógnita). -
: fração do trabalho feita por dia quando os três trabalham juntos.
Passo 4
Calcular
. Para somar frações, usamos o mínimo múltiplo comum dos denominadores
e
, que é
. Então:
Passo 5
Substituímos na equação e isolamos
:
Transformamos
para denominador
:
. Então
Simplificando
dividindo numerador e denominador por
:
Invertendo para obter
:
Passo 6
Interpretando o resultado em forma mais prática:
E como
de um dia equivale a
horas, podemos também dizer:
Passo 7
Verificação rápida (checar que faz sentido): somando as taxas com
obtemos
o que confirma que, juntos, os três terminam em
dias. Boa! Continua firme — esse tipo de questão é muito comum em prova.