1. Uma torneira sozinha enche um tanque em 2 horas e outra também sozinha enche o mesmo tanque em 3 horas. Quanto tempo as duas torneiras juntas levam para encher o tanque?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Uma torneira enche o tanque sozinha em 2 horas.
    • Outra torneira enche o mesmo tanque sozinha em 3 horas.
  • O que o enunciado pede:
    • Quanto tempo as duas torneiras, trabalhando juntas, levam para encher o tanque?

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (explicação didática):
  • Em problemas de “trabalho” (encher um tanque, pintar uma parede, etc.) é útil pensar em taxa de trabalho: quanto da tarefa é feita por unidade de tempo.
  • Se uma torneira enche um tanque em t horas, a sua taxa é “fração do tanque por hora” igual a \dfrac{1}{t}.
    • Por exemplo, se algo leva 2 h, a taxa é \dfrac{1}{2} tanque por hora.
  • Quando duas (ou mais) fontes trabalham juntas e independentes, as taxas somam: a taxa conjunta é a soma das taxas individuais.
  • Depois de achar a taxa conjunta (fração do tanque por hora), o tempo necessário para completar 1 tanque é o inverso dessa taxa (ou seja, \text{tempo} = \dfrac{1}{\text{taxa conjunta}}).

Passo 3

Calcular as taxas individuais (seguindo a definição acima).
  • Taxa da primeira torneira: \text{taxa}_1 = \frac{1}{2}\\ \text{tanques por hora}.
  • Taxa da segunda torneira: \text{taxa}_2 = \frac{1}{3}\\ \text{tanques por hora}.

Passo 4

Somar as taxas para obter a taxa conjunta.
\text{taxa conjunta}=\text{taxa}_1+\text{taxa}_2=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}.
Fazer a soma de frações passo a passo:
  • Encontre um denominador comum, que é 6.
\frac{1}{2}=\frac{3}{6},\qquad \frac{1}{3}=\frac{2}{6}.
\text{taxa conjunta}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}\\ \text{tanques por hora}.

Passo 5

Calcular o tempo necessário a partir da taxa conjunta (tempo = inverso da taxa).
\text{tempo}=\frac{1}{\text{taxa conjunta}}=\frac{1}{\tfrac{5}{6}}=\frac{6}{5}\\ \text{horas}.
Converter \dfrac{6}{5} horas em horas e minutos:
\frac{6}{5}=1,\!2\\ \text{horas}.
A parte decimal 0,\!2 hora em minutos:
0,\!2\times 60 = 12\\ \text{minutos}.
Portanto o tempo é 1 hora e 12 minutos, isto é \,1\\ \text{h}\\\ 12\\ \text{min}.

Passo 6

Verificação rápida (para me deixar mais confiante): se trabalham juntas \tfrac{5}{6} tanque por hora, em 1,2 horas fazem
\frac{5}{6}\times 1{,}2 = \frac{5}{6}\times\frac{6}{5}=1
tanque — checa certinho.

Resposta

\dfrac{6}{5}\\ \text{horas} = 1\\ \text{h}\\\ 12\\ \text{min}

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