Uma torneira aberta só enche um tanque em 5 horas e outra, igualmente só, o enche em 6 horas. Por outro lado, um ralo aberto esvazia o mesmo tanque em 10 horas. Estando o tanque, inicialmente, vazio, e abertas as duas torneiras e o ralo, em quanto tempo o tanque estará cheio?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados:
    • A primeira torneira enche o tanque em \,5\\ \text{h}.
    • A segunda torneira enche o mesmo tanque em \,6\\ \text{h}.
    • O ralo esvazia o tanque em \,10\\ \text{h}.
    • O tanque está inicialmente vazio e as duas torneiras e o ralo são abertos simultaneamente.
  • Pergunta:
    • Em quanto tempo o tanque ficará cheio, com as duas torneiras e o ralo abertos ao mesmo tempo?

Passo 2

Vamos entender a ideia principal (passo-a-passo, sem pressa): cada torneira ou ralo tem uma “taxa” de trabalho medida em fração do tanque por hora. Ou seja, em uma hora cada torneira enche uma certa fração do tanque; o ralo esvazia uma certa fração do tanque por hora. Para resolver somamos as taxas de enchimento e subtraímos a taxa de esvaziamento para obter a taxa líquida. Depois o tempo necessário é o trabalho total (1 tanque) dividido pela taxa líquida.
Explicando as palavras:
  • “Taxa” significa quantos tanques (ou fração de tanque) são preenchidos por hora.
  • Se um dispositivo enche em \,t\\ \text{h}, sua taxa é \dfrac{1}{t} tanques por hora.

Passo 3

Definimos as taxas individuais.
  • Taxa da torneira 1: r_1 = \frac{1}{5}\\ \text{(tanques por hora)}.
  • Taxa da torneira 2: r_2 = \frac{1}{6}\\ \text{(tanques por hora)}.
  • Taxa do ralo (esvaziamento): r_r = \frac{1}{10}\\ \text{(tanques por hora)}.

Passo 4

Taxa líquida quando todos estão abertos simultaneamente: somam-se as taxas que enchem e subtrai-se a taxa que esvazia. Assim,
r_{\text{líquida}} = r_1 + r_2 - r_r.í
Aqui subtrai-se r_r porque o ralo tira água (faz trabalho negativo no enchimento).

Passo 5

Calcular numericamente \,r_{\text{líquida}}í. É conveniente colocar tudo com denominador comum 30:
\frac{1}{5} = \frac{6}{30},\qquad \frac{1}{6}=\frac{5}{30},\qquad \frac{1}{10}=\frac{3}{30}.
Logo
r_{\text{líquida}}=\frac{6}{30}+\frac{5}{30}-\frac{3}{30}=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}\\ \text{(tanques por hora)}.í

Passo 6

Tempo necessário para encher um tanque é o trabalho total ( 1 tanque) dividido pela taxa líquida:
T=\frac{1}{r_{\text{líquida}}}=\frac{1}{4/15}=\frac{15}{4}\\ \text{horas}.í

Passo 7

Converter \dfrac{15}{4} horas em horas e minutos. Primeiro escrevemos em número misto:
\frac{15}{4}=3+\frac{3}{4}=3\frac{3}{4}\\ \text{horas}.
A parte fracionária \dfrac{3}{4}\\ \text{h} em minutos é
\frac{3}{4}\cdot 60 = 45\\ \text{min}.
Portanto o tempo é 3 horas e 45 minutos. Em valor decimal isso é \,3{,}75\\ \text{h}.

Passo 8

Pequena verificação rápida (pra ficar tranquilo): taxa líquida \dfrac{4}{15}\\ \text{tanques/h} multiplicada por \dfrac{15}{4}\\ \text{h} dá exatamente 1 tanque, então está coerente.

Passo 9

Resumo motivador: mesmo com o ralo aberto, a soma das torneiras vence o escoamento, e o tanque enche antes de 4 horas — exatamente em 3 horas e 45 minutos. Boa! Isso é bem típico de provas: transformar tempos em taxas e somar/subtrair.

Resposta

3\\ \text{h}\\\ 45\\ \text{min}

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