Uma torneira aberta só enche um tanque em 5 horas e outra, igualmente só, o enche em 6 horas. Por outro lado, um ralo aberto esvazia o mesmo tanque em 10 horas. Estando o tanque, inicialmente, vazio, e abertas as duas torneiras e o ralo, em quanto tempo o tanque estará cheio?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
-
Dados:
- A primeira torneira enche o tanque em
. - A segunda torneira enche o mesmo tanque em
. - O ralo esvazia o tanque em
. - O tanque está inicialmente vazio e as duas torneiras e o ralo são abertos simultaneamente.
- A primeira torneira enche o tanque em
-
Pergunta:
- Em quanto tempo o tanque ficará cheio, com as duas torneiras e o ralo abertos ao mesmo tempo?
Passo 2
Vamos entender a ideia principal (passo-a-passo, sem pressa): cada torneira ou ralo tem uma “taxa” de trabalho medida em fração do tanque por hora. Ou seja, em uma hora cada torneira enche uma certa fração do tanque; o ralo esvazia uma certa fração do tanque por hora. Para resolver somamos as taxas de enchimento e subtraímos a taxa de esvaziamento para obter a taxa líquida. Depois o tempo necessário é o trabalho total (1 tanque) dividido pela taxa líquida.
Explicando as palavras:
- “Taxa” significa quantos tanques (ou fração de tanque) são preenchidos por hora.
- Se um dispositivo enche em
, sua taxa é tanques por hora.
Passo 3
Definimos as taxas individuais.
- Taxa da torneira 1:
- Taxa da torneira 2:
- Taxa do ralo (esvaziamento):
Passo 4
Taxa líquida quando todos estão abertos simultaneamente: somam-se as taxas que enchem e subtrai-se a taxa que esvazia. Assim,
Aqui subtrai-se
porque o ralo tira água (faz trabalho negativo no enchimento).
Passo 5
Calcular numericamente
. É conveniente colocar tudo com denominador comum
:
Logo
Passo 6
Tempo necessário para encher um tanque é o trabalho total (
tanque) dividido pela taxa líquida:
Passo 7
Converter
horas em horas e minutos. Primeiro escrevemos em número misto:
A parte fracionária
em minutos é
Portanto o tempo é
horas e
minutos. Em valor decimal isso é
.
Passo 8
Pequena verificação rápida (pra ficar tranquilo): taxa líquida
multiplicada por
dá exatamente
tanque, então está coerente.
Passo 9
Resumo motivador: mesmo com o ralo aberto, a soma das torneiras vence o escoamento, e o tanque enche antes de 4 horas — exatamente em
horas e
minutos. Boa! Isso é bem típico de provas: transformar tempos em taxas e somar/subtrair.