Dois trens viajam em sentidos opostos, sobre trilhos, com velocidades de mesma magnitude. Os dois inicialmente se aproximam e se afastam após que se cruzaram. Durante todo esse encontro, um deles vem apitandio. A frequência do apito percebida por um passageiro do outro trem varia entre os valores de 348 Hz , quando estão se aproximando, e 259 Hz , quando estão se afastando. Qual é a velocidade dos trens (
ou
)?
pontos)
Passo 1
Primeiro, vamos resumir a questão. Temos dois trens indo em direções opostas com a mesma velocidade. Enquanto um apita, a frequência do apito percebida pelo passageiro do outro trem muda: é 348 Hz quando os trens estão se aproximando e 259 Hz quando estão se afastando. Vamos usar o Efeito Doppler para descobrir a velocidade dos trens.
Passo 2
O Efeito Doppler nos ajuda a entender como a frequência de uma onda (como o som) muda quando a fonte e o observador estão em movimento relativo. A fórmula para duas fontes se movendo em sentidos opostos é:
Onde:
- $ f’ $ é a frequência percebida,
- $ f $ é a frequência emitida,
- $ v $ é a velocidade do som (aproximadamente 343 m/s),
- $ v_o $ é a velocidade do observador,
- $ v_s $ é a velocidade da fonte.
Neste caso, ambos os trens têm a mesma velocidade $ v_t $, então $ v_o = v_s = v_t $.
Passo 3
Quando os trens estão se aproximando, o observador está se movendo na direção oposta à fonte, então a frequência percebida aumenta:
Quando os trens estão se afastando, o observador se afasta da fonte, então a frequência percebida diminui:
Passo 4
Vamos dividir as duas equações para eliminar $ f $:
Simplificando:
Passo 5
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 6
Resolvendo para $ v_t $:
Passo 7
Convertendo para km/h:
Resposta
A velocidade de cada trem é aproximadamente 25,90 m/s ou 93,24 km/h.