Dois trens viajam em sentidos opostos, sobre trilhos, com velocidades de mesma magnitude. Os dois inicialmente se aproximam e se afastam após que se cruzaram. Durante todo esse encontro, um deles vem apitandio. A frequência do apito percebida por um passageiro do outro trem varia entre os valores de 348 Hz , quando estão se aproximando, e 259 Hz , quando estão se afastando. Qual é a velocidade dos trens ( em km / h ou m / s )? (0,75 pontos)

Passo 1

Primeiro, vamos resumir a questão. Temos dois trens indo em direções opostas com a mesma velocidade. Enquanto um apita, a frequência do apito percebida pelo passageiro do outro trem muda: é 348 Hz quando os trens estão se aproximando e 259 Hz quando estão se afastando. Vamos usar o Efeito Doppler para descobrir a velocidade dos trens.

Passo 2

O Efeito Doppler nos ajuda a entender como a frequência de uma onda (como o som) muda quando a fonte e o observador estão em movimento relativo. A fórmula para duas fontes se movendo em sentidos opostos é:
f' = f times v + vov - vs
Onde:
  • $ f’ $ é a frequência percebida,
  • $ f $ é a frequência emitida,
  • $ v $ é a velocidade do som (aproximadamente 343 m/s),
  • $ v_o $ é a velocidade do observador,
  • $ v_s $ é a velocidade da fonte.
Neste caso, ambos os trens têm a mesma velocidade $ v_t $, então $ v_o = v_s = v_t $.

Passo 3

Quando os trens estão se aproximando, o observador está se movendo na direção oposta à fonte, então a frequência percebida aumenta:
348 = f times 343 + vt343 - vt
Quando os trens estão se afastando, o observador se afasta da fonte, então a frequência percebida diminui:
259 = f times 343 - vt343 + vt

Passo 4

Vamos dividir as duas equações para eliminar $ f $:
f
Simplificando:
348259 = 343 + vt343 - vt343 - vt343 + vt = (343 + vt343 - vt)^2

Passo 5

Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
343 + vt343 - vt = raiz348259 approx 1.163

Passo 6

Resolvendo para $ v_t $:
vt
343 + vt = 1.163 times (343 - vt)
343 + vt = 399.149 - 1.163vt
vt + 1.163vt = 399.149 - 343
2.163vt = 56.149

Passo 7

Convertendo para km/h:
25.90 , m/s times 3600 , s1000 , m = 93.24 , km/h

Resposta

A velocidade de cada trem é aproximadamente 25,90 m/s ou 93,24 km/h.

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