A posição angular de um ponto da borda de uma roda é dada por alpha(t)=4 t-3 t^2+t^3, onde alpha está em radianos e tem segundos.
Qual é a velocidade angular em (a) t=2,0 se?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem a posição angular de um ponto na borda de uma roda, dada pela função alpha(t) = 4t - 3t^2 + t^3, onde alpha está em radianos e t é o tempo em segundos. A pergunta é: qual é a velocidade angular nesse ponto quando t = 2,0 segundos?
Aqui, estamos lidando com Movimento Angular, especificamente calculando a velocidade angular a partir da posição angular. Para resolver isso, vamos precisar entender que a velocidade angular é a derivada da posição angular em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a taxa de variação dessa função naquele ponto. No contexto da posição angular, a derivada dalphadt nos dá a velocidade angular omega.
Então, para encontrar a velocidade angular omega(t), precisamos derivar a função alpha(t) em relação a t:
omega(t) = dalphadt

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo da função alpha(t) = 4t - 3t^2 + t^3:
  1. A derivada de 4t em relação a t é 4.
  2. A derivada de -3t^2 em relação a t é -6t.
  3. A derivada de t^3 em relação a t é 3t^2.
Então, juntando tudo, a função da velocidade angular fica:
omega(t) = 4 - 6t + 3t^2

Passo 4

Agora que temos a expressão para a velocidade angular, vamos calcular o valor dela quando t = 2,0 segundos. Basta substituir t por 2,0 na equação que encontramos:
omega(2,0) = 4 - 6(2,0) + 3(2,0)^2

Passo 5

Vamos calcular cada termo:
  1. 6(2,0) = 12
  2. 3(2,0)^2 = 3 times 4 = 12
Agora, substituindo na equação:
omega(2,0) = 4 - 12 + 12

Passo 6

Simplificando a expressão:
omega(2,0) = 4 - 12 + 12 = 4

Resposta

A velocidade angular em t = 2,0 segundos é de 4 radianos por segundo.

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