Uma esfera de massa
e raio
gira em torno do eixo
, que passa por seu centro de massa, com velocidade angular
.
d) como varia com o tempo o vetor velocidade angular
da esfera?
d) como varia com o tempo o vetor velocidade angular
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma esfera de massa $ M $ e raio $ R $ que está girando em torno do eixo $ Z $ passando pelo seu centro de massa. A velocidade angular inicial é $ \omega = \omega_0 \hat{k} $. A pergunta é: como o vetor velocidade angular $ \omega $ da esfera varia com o tempo?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica rotacional, especialmente a relação entre torque, momento de inércia e velocidade angular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade angular $ \omega $ descreve quão rápido e em que direção a esfera está girando. O vetor $ \omega $ tem magnitude (intensidade) $ \omega_0 $ e direção ao longo do eixo $ Z $ representado por $ \hat{k} $.
Passo 3
Agora, precisamos considerar se há alguma força externa atuando na esfera que possa alterar sua velocidade angular. Isso é feito através do conceito de torque ($ \tau $).
A relação fundamental aqui é:
onde:
- $ \tau $ é o torque aplicado,
- $ I $ é o momento de inércia da esfera,
- $ \alpha $ é a aceleração angular (como a velocidade angular muda com o tempo).
Passo 4
No nosso caso, não foi mencionado nenhum torque externo agindo na esfera. Isso implica que:
Passo 5
Com o torque sendo zero, podemos usar a relação:
Isso significa que a aceleração angular $ \alpha $ é zero:
Passo 6
Se a aceleração angular é zero, então a velocidade angular não está mudando com o tempo. Ou seja, a velocidade angular $ \omega $ permanece constante.
Matematicamente:
Resposta
A velocidade angular da esfera permanece constante ao longo do tempo, ou seja, $ \omega(t) = \omega_0 \hat{k} $.