Uma esfera de massa M e raio R gira em torno do eixo Z, que passa por seu centro de massa, com velocidade angular omega=omega0 k.
d) como varia com o tempo o vetor velocidade angular omega da esfera?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma esfera de massa $ M $ e raio $ R $ que está girando em torno do eixo $ Z $ passando pelo seu centro de massa. A velocidade angular inicial é $ \omega = \omega_0 \hat{k} $. A pergunta é: como o vetor velocidade angular $ \omega $ da esfera varia com o tempo?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica rotacional, especialmente a relação entre torque, momento de inércia e velocidade angular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade angular $ \omega $ descreve quão rápido e em que direção a esfera está girando. O vetor $ \omega $ tem magnitude (intensidade) $ \omega_0 $ e direção ao longo do eixo $ Z $ representado por $ \hat{k} $.

Passo 3

Agora, precisamos considerar se há alguma força externa atuando na esfera que possa alterar sua velocidade angular. Isso é feito através do conceito de torque ($ \tau $).
A relação fundamental aqui é:
tau
onde:
  • $ \tau $ é o torque aplicado,
  • $ I $ é o momento de inércia da esfera,
  • $ \alpha $ é a aceleração angular (como a velocidade angular muda com o tempo).

Passo 4

No nosso caso, não foi mencionado nenhum torque externo agindo na esfera. Isso implica que:
tau = 0

Passo 5

Com o torque sendo zero, podemos usar a relação:
0 = I cdot alpha
Isso significa que a aceleração angular $ \alpha $ é zero:
alpha

Passo 6

Se a aceleração angular é zero, então a velocidade angular não está mudando com o tempo. Ou seja, a velocidade angular $ \omega $ permanece constante.
Matematicamente:
omega

Resposta

A velocidade angular da esfera permanece constante ao longo do tempo, ou seja, $ \omega(t) = \omega_0 \hat{k} $.

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