Seja
com
. Mostre que
se e se,
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que um inteiro
pode ser escrito como
se, e somente se,
.
Vamos usar duas ideias principais:
Vamos usar duas ideias principais:
- Classes de resto de um quadrado módulo 4.
- A fatoração de diferença de quadrados
e a escolha adequada de fatores com mesma paridade para construir
e
.
Passo 2
Mostramos primeiro a condição necessária. Se
, então, em módulo 4, cada quadrado satisfaz
Logo
isto é,
Em nenhuma dessas opções aparece o resto 2. Portanto, se
, então
Passo 3
Agora a recíproca: suponha
. Então ou
é ímpar, ou
. Em ambos os casos conseguimos escrever
com
e
tendo a mesma paridade. Feito isso, definimos
Note que
e
são inteiros pois
e
são ou ambos ímpares, ou ambos pares. E
Passo 4
Escolha dos fatores em cada caso:
- Se
é ímpar, tome e . Ambos são ímpares, logo
e
.
- Se
, então é par. Tome e . Ambos são pares, e
dá de novo
.
Resposta
Um inteiro
é diferença de dois quadrados se, e somente se,