Seja n \in \mathbb{N} com n>1. Mostre que n=a^{2}-b^{2} se e se, n \neq 0(\bmod 4).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um inteiro n>1 pode ser escrito como
n = a^2 - b^2
se, e somente se, n\not\equiv 2\pmod{4}.
Vamos usar duas ideias principais:
  1. Classes de resto de um quadrado módulo 4.
  2. A fatoração de diferença de quadrados
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
e a escolha adequada de fatores com mesma paridade para construir a e b.

Passo 2

Mostramos primeiro a condição necessária. Se n = a^2 - b^2, então, em módulo 4, cada quadrado satisfaz
x^2 \equiv 0\text{ ou }1\pmod{4}.
Logo
a^2 - b^2 \equiv 0-0,\;0-1,\;1-0\text{ ou }1-1 \pmod{4},
isto é,
a^2 - b^2 \equiv 0,\;3,\;\text{ou }1\pmod{4}.
Em nenhuma dessas opções aparece o resto 2. Portanto, se n=a^2-b^2, então
n\not\equiv 2\pmod{4}.

Passo 3

Agora a recíproca: suponha n\not\equiv 2\pmod{4}. Então ou n é ímpar, ou n\equiv 0\pmod{4}. Em ambos os casos conseguimos escrever
n = d\cdot e,
com d e e tendo a mesma paridade. Feito isso, definimos
a = \frac{d+e}{2}, \quad b = \frac{e-d}{2}.
Note que a e b são inteiros pois d e e são ou ambos ímpares, ou ambos pares. E
a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) = d\cdot e = n.

Passo 4

Escolha dos fatores em cada caso:
  • Se n é ímpar, tome d=1 e e=n. Ambos são ímpares, logo
a = \frac{1+n}{2},\quad b = \frac{n-1}{2},
e a^2-b^2=n.
  • Se n\equiv 0\pmod{4}, então n/2 é par. Tome d=2 e e=n/2. Ambos são pares, e
a = \frac{2 + (n/2)}{2},\quad b = \frac{(n/2) - 2}{2},
dá de novo a^2 - b^2 = n.

Resposta

Um inteiro n>1 é diferença de dois quadrados se, e somente se,
n\not\equiv 2\pmod{4}.

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